9.2 - Processo de Poisson Composto

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Neste módulo, vamos estudar uma extensão do Processo de Poisson nos quais o tamanho do salto não é fixo (igual a 1), mas é representado por uma variável aleatória. O processo de Poisson composto é base para o entendermos a estrutura de salto do processo de Lévy. Considere $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade completo. O processo de Poisson composto com intensidade $ \lambda \textgreater 0 $ e tamanho de saltos com distribuição $ F $ é o processo estocástico definido por $ Y(0)=0 $ e

$$Y(t) = \displaystyle\sum_{i=1}^{N(t)} J_i,$$

em que

(1) Os tamanhos dos saltos $ J_i $, $ i \in \mathbb{N} $, são v.a.s independentes e identicamente distribuidas com distribuição $ F $;

(2) 0\leq t \leq T\} $ é um processo de Poisson de intensidade $ \lambda $, independente dos saltos $ \{J_1, J_2, \ldots \} $.

Ao denotarmos por $ 0 = T_0 \textless T_1 \textless T_2 \ldots  $ os instantes de saltos do processo de Poisson $ N $, obtemos que

$$Y(t)=\sum_{n=1}^\infty J_i 1\!\!1_{\{T_n\leq t\}},\quad 0 \leq t \leq T.$$

  Desde que os instantes de salto são determinados por um processo de Poisson e o tamanho dos saltos são determinados por variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, obtemos que $ Y $ é um processo de Lévy homogêneo. Denotamos por $ \mathbb{F}^0 $ a filtragem interna do processo de Poisson composto e por $ \mathbb{F} $ a filtragem interna completada, ver a seção sobre base estocástica. Como $ Y $ é um processo de Lévy, sabemos que $ \mathbb{F} $ é contínua à direita. Ao longo deste módulo, sempre que nos referirmos ao processo de Poisson composto com intensidade $ \lambda $ e tamanho dos saltos com distribuição $ F $, iremos denotar por $ PPC(\lambda, F) $.

 
Teorema 9.2.1:
Seja $ Y $ um $ PPC(\lambda, F) $. Então, temos que $ \mathbb{E}\left[Y(t)\right] = \lambda tk, $ em que $ k = \mathbb{E}\left[J_1\right] $, com $ J_1 $ é o tamanho do primeiro salto.
Demonstração: 
Por propriedade de esperança condiciona

$$\mathbb{E}\left[Y(t)\right] = \mathbb{E}\left[ \mathbb{E}\left[Y(t)| N(t) \right]\right].$$

Sabemos que, 

$$\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[Y(t)\mid N(t) \right]\right]=\mathbb{E}\left[ \mathbb{E}\left[\sum_{l=1}^{N(t)} J_l\Big| N(t)\right]\right]=\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}\left[\sum_{l=1}^{N(t)} J_l \Big| N(t) =n\right] P(N(t) =n)= \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}\left[\sum_{l=1}^{n} J_l\right] P(N_t =n).$$

Além disso, 

$$\mathbb{E}\left[\sum_{l=1}^{n} J_l\right]=\sum_{l=1}^{n}\mathbb{E}\left[ J_l\right]=nk.$$

Com os resultados acima, concluímos que

$$\mathbb{E}Y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} nk P(N(t) =n)= k\sum_{n=0}^{\infty} n P(N_t =n)= k \mathbb{E}\left[N(t)\right].$$

Como $ N $ é um processo de Poisson, concluímos o teorema.

A seguir, vamos calcular a função característica associada ao processo de Poisson composto.
 
Teorema 9.2.2:
A função característica do processo $ Y $ é dada por

$$\varphi_t(u)=\exp\left\{t \int_{-\infty}^{\infty} (e^{iux} -1)\lambda F(dx)\right\},$$

para todo $ u\in \mathbb{R} $ e $ 0 \leq t \leq T $.

Demonstração:
Por definição, temos que

$$\varphi_t(u)=\mathbb{E}\left[e^{iuY(t)}\right]=\mathbb{E}\left[\exp{\left(iu \sum_{l=1}^{N(t)} J_l\right)}\right].$$

Via a propriedade de torre da esperança condicional, temos que

$$\mathbb{E}\exp{\left(iu \sum_{l=1}^{N(t)} J_l\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}\left[\exp{\left(iu \sum_{l=1}^{N(t)} J_l\right)} \Big|N(t)=n\right]P(N(t)=n)=\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}\left[\exp{\left(iu \sum_{l=1}^{n} J_l\right)} \right]P(N(t)=n).$$
Como $ N $ é o processo de Poisson e i \geq 1\} $ são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, concluímos que

$$\varphi_t(u) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\mathbb{E}\left[\exp{(iu J_1)} \right]\right)^n \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}.$$

Desde que,

$$\mathbb{E}\left[\exp{(iu J_1)} \right] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{iuy} F(dy),$$

obtemos que

$$\varphi_t(u)=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{iuy} F(dy) \right)^n \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}=e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\left(\lambda t \int_{-\infty}^{\infty} e^{iuy} F(dy) \right)^n}{n!}=\exp\left\{-\lambda t + \lambda t \int_{-\infty}^{\infty} e^{iuy} F(dy)\right\}= \exp\left\{-\lambda t\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{iuy} F(dy) - 1\right)\right\}.$$

Portanto, temos que

$$\varphi_t(u)= \exp\left\{-\lambda t\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{iuy} F(dy) - \int_{-\infty}^{\infty} 1F(dy)\right)\right\}= \exp\left\{t \int_{-\infty}^{\infty} (e^{iuy} -1)\lambda F(dy)\right\}.$$

 

 
Na sequência, vamos estudar propriedades da filtragem interna do processo de Poisson composto. Conforme definido no módulo sobre tempos de parada, dado $ R $ um tempo de parada, o conjunto de informação até $ R $ corresponde a $ \sigma $-álgebra avaliada até o tempo de parada $ R $,

 \Lambda \cap\{R\leq t\}\in\mathcal{F}_t,~0\leq t \leq T\}.$$

 O conjunto de informações estritamente anteriores a $ R $ será denotado por $ \mathcal{F}_{R^{-}} $ e definido por:

 \Lambda \in \mathcal{F}_s, 0 \leq s \leq T\}.$$

No módulo de tempos de parada, mostramos que $ \mathcal{F}_{R^-}\subset \mathcal{F}_R $. Além disso, o tempo de parada $ R $ é $ \mathcal{F}_{R^-} $-mensurável. Denotamos por $ \mathbb{F}^o $ a filtragem interna do processo de Poisson composto e por $ \mathbb{F} $ o completamento da filtragem interna $ \mathbb{F}^o $

 
Teorema 9.2.3
Sejam $ Y $ um $ PPC(\lambda, F) $, $ T_1,T_2,\ldots $ os tempos de ocorrências dos saltos e $ J_1 $, $ J_2 $, $ \ldots $ os tamanhos dos saltos. Valem as igualdades:
 
(1) $ \mathcal{F}^o_{T_n}=\sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_n, J_n)\big\} $;
(2) $ \mathcal{F}^o_{{T_n}^-} = \sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_{n-1}, J_{n-1}); T_n\big\} $.
 
Demonstração:
Inicialmente, mostraremos que

$$\sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_n, J_n)\big\} \subset \mathcal{F}^o_{T_n}.$$

 De fato, como $ T_n ~\text{é} ~\mathcal{F}^o_{T_n}\mbox{-mensurável} $, obtemos que $ T_i ~\text{é} ~ \mathcal{F}^o_{T_n}\text{-mensurável} $ para todo $ i\leq n. $ 

Na sequência, mostraremos que $ Y(T_n) $ é $ \mathcal{F}^o_{T_n} $-mensurável. Desde que $ \mathbb{F}^o $ é a filtragem interna do processo de Poisson composto, sabemos que $ Y $ é adaptado e progressivamente mensurável. Assim, ao tomarmos $ B $ um boreliano da reta, obtemos que

$$\left\{ \sum^{\infty}_{l=1} J_l 1\!\!1_{\{T_l \leq T_n\}} \in B\right\} \cap \left\{T_n \leq t\right\} \in \mathcal{F}^o_t.$$

Com isso, concluímos que $ \{Y(T_n) \in B\} \in \mathcal{F}^o_{T_n} $. Sabemos que os saltos são dados por,

$$J_n=Y_{T_n} - Y_{T_{n-1}}.$$

Logo, obtemos que $ J_n $ é $ \mathcal{F}^o_{T_n} $-mensurável. Como consequência, temos que

$$J_i \mbox{ é } \mathcal{F}^o_{T_n}\mbox{-mensurável } \forall i \leq n.$$

Para mostrarmos a recíproca, basta notarmos que $ Y(u \wedge T_n) $ é $ \sigma\left(\left(T_1, J_1\right),\ldots \left(T_n, J_n\right)\right) $-mensurável, para todo $ u \geq 0 $. De fato, como  $ Y(u \wedge T_n) $ é um processo cadlag $ \mathbb{F} $-adaptado, segue a parte (1).

Na parte (2), mostraremos que $ \mathcal{F}^o_{{T_n}^-} = \sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_{n-1}, J_{n-1}); T_n\big\} $. Como

$$\mathcal{F}^o_{{T_n}^{-}} = \sigma\{\Lambda \cap \{T_n \textgreater t\}\ e \ \Lambda \in \mathcal{F}^o_t ;\ t\geq 0\},$$

basta mostrarmos que a classe

$$\{\Lambda \cap \{T_n \textgreater t\}\} \subset \sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_{n-1}, J_{n-1}); T_n\big\}.$$

Sabemos que

$$\mathcal{F}^o_t = \sigma\left\{1\!\!1_{\{J_n \in A\}} 1\!\!1_{\{T_n \leq s\}},n\geq 1,~0\leq s\leq t,~A\in \beta(\mathbb{R})\right\},$$

em que $ \beta(\mathbb{R}) $ corresponde a $ \sigma $-álgebra dos borelianos da reta.

Tomamos

$$\Lambda = \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} 1\!\!1_{\{J_n \in A\}} 1\!\!1_{\{T_n \leq s\}} = k\right\}.$$

Assim, temos que

$$\Lambda \cap \{T_n \textgreater t\} = \underbrace{\left\{\sum_{l=1}^{n-1} 1\!\!1_{\{J_l \in A\}} 1\!\!1_{\{T_l \leq s\}}=k\right\}}_{\in\ \mathcal{F}_{{T_n}^{-}}} \cap \underbrace{\{T_n \textgreater t\}}_{\in\ \sigma(T_n)}.$$

Portanto, concluímos que

$$\mathcal{F}^o_{{T_n}^{-}} \subset \sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_{n-1}, J_{n-1}); T_n\big\}.$$

 

A seguir, vamos mostrar a recíproca. Como

$$\sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_{n-1}, J_{n-1})\big\}= \mathcal{F}^o_{T_{n-1}} \subset \mathcal{F}^o_{T_{n^{-}}},$$

basta observarmos que que $ T_n $ é $ \mathcal{F}^o_{T_{n^{-}}} $-mensurável, ver o módulo de tempos de parada. Logo, concluímos que

$$\sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_{n-1}, J_{n-1}); T_n\big\} \subset \mathcal{F}^o_{{T_n}^{-}} .$$

Segue o teorema.

Sabemos que a filtragem interna $ \mathbb{F}^o $ é dada por

 s \geq 0\}.$$

Desta forma, para todo $ n \geq 0 $, temos que 

 s \geq 0\} \cap \{T_n \leq t \textless T_{n+1} \},$$

pois $ Y(s \wedge T_n(\omega), \omega)=Y(s \wedge t,\omega) $ para todo $ \omega \in \{T_n \leq t \textless T_{n+1} \}  $ para todo $ s \geq 0 $. Por construção, temos que

 s \geq 0\} = \sigma\big\{(T_1, J_1); \ldots ;(T_n, J_n)\big\}, ~ ~ n \geq 1.$$

Como consequência do teorema 9.2.3, concluímos que 

$$\mathcal{F}^o_t = \cup_{n=1}^\infty \left\{ \mathcal{F}^o_{T_n} \cap \{T_n \leq t \textless T_{n+1} \} \right\}, ~ ~ t \geq 0,$$

no qual $ \mathcal{F}_0^o $ é a $ \sigma $-álgebra trivial. Neste caso, dizemos que a filtragem inerna do processo de Poisson composto $ Y $ é do tipo discreta.

Na sequência, vamos estudar propriedades dos saltos do processo de Poissom composto. Considere $ X $ um processo estocástico adaptado à filtragem interna $ \mathbb{F} $ do processo de Poisson composto $ Y $. Dizemos que $ X \in \textbf{B}^p $ se 

$$\mathbb{E} [\sup_{0 \leq s \leq T} \mid X(t) \mid ]^p \textless \infty,$$

para $ p \textgreater 0 $. A seguir, vamos rever alguns conceitos introduzidos na seção sobre processo estocástico. A $ \sigma $-álgebra dos subconjuntos em $ [0, \infty) \times \Omega $ gerada pelos processos $ \mathbb{F} $-adaptados e contínuos é denominada previsível e será denotada por $ \mathcal{P} $. Da mesma forma, denotamos por $ \mathcal{O} $ a $ \sigma $-álgebra gerada pelos processo contínuos à direita e com limites à esquerda (cadlag), denominada $ \sigma $-álgebra opcional.

Definição 9.2.4: Dado um processo estocástico $ X \in \textbf{B} $. Se existe um processo $ \mathbb{F} $-previsível $ N $, tal que $ X-N $ é um $ \mathbb{F} $-martingale, dizemos que $ N $ é o compensador de $ X $.

Se$ X \in \textbf{B} $ é um processo de Lévy, sabemos que o processo $ M(t)=X(t)-\mathbb{E}(X(t)) $ é um $ \mathbb{F} $-martingale. Portanto, o compensador $ N(t) =\mathbb{E}(X(t)) $ é determinístico. Como o processo de Poisson composto pode ser escrito na forma

$$Y(t,\omega) = \sum_{n=1}^{\infty}\Delta Y(T_i(\omega), \omega) 1\!\!1_{\{T_i(\omega) \leq t\}}(\omega),$$

podemos associar ao processo $ Y $ uma medida aleatória  \Omega\times \beta([0, T]) \times \beta(\mathbb{R})\rightarrow [0, \infty] $, de modo que

$$\mu\left(\omega, \left[ 0,t \right], B\right) = \sum_{n=1}^{\infty}1\!\!1_B(J_n)1\!\!1_{\{T_n(\omega)\leq t\}}(\omega),$$

para todo $ \omega \in \Omega $, $ t \in [0,T] $ e $ B \in \beta(\mathbb{R}) $. A medida $ \mu $ caracteriza o processo $ Y $, pois

$$Y(t, \omega) = \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x\mu(\omega, ds, dx), \quad t \geq 0.$$

Como os incrementos do processo de Poisson composto são independentes, obtemos que o processo estocástico $ \mu(\cdot , [0,t], B) $ também tem incrementos independentes, para todo $ B \in \beta(\mathbb{R}) $ fixo. Assim, existe uma medida $ \nu $ definida sobre $ ([0,T]\times \mathbb{R}; \beta([0,T]\times \beta(\mathbb{R}))) $, que é o compensador de $ \mu $, definida por

$$ \nu([0,t], B) = \mathbb{E}\left[\mu([0,t]\times B)\right], \quad t \geq 0 \quad \mbox{e} \quad B \in \beta(\mathbb{R}).$$

  Por definição, temos que 

$$ \nu([0,t], B) = \mathbb{E}\left[\mu([0,t]\times B)\right] = \mathbb{E}\left[\sum_{n=1}^{\infty}1\!\!1_{\{B\}}(J_n)1\!\!1_{\{T_n\leq t\}}\right] = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}\left[1\!\!1_{\{B\}}(J_n)1\!\!1_{\{T_n\leq t\}}\right]=$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}\left[1\!\!1_{\{B\}}(J_n)\right]\mathbb{E}\left[1\!\!1_{\{T_n\leq t\}}\right]=\int_BF(dx)\mathbb{E}\left[N_t\right] = \int_B\int_0^t\lambda F(dx)ds,\quad t\geq 0\quad \mabox{e} \quad B \in \beta(\mathbb{R}).$$

Portanto, obtemos que

$$\nu(ds, dx) = \lambda F(dx)ds \quad \mbox{e} \quad \int^{\infty}_{-\infty} x\nu([0,t], dx) = \lambda t\mathbb{E} \left[J_1\right] \textless \infty.$$

Nesta seção, vamos admitir que $ \mathbb{E} [J_1]^2 \textless \infty $. Assim, concluímos que

$$\int^{\infty}_{-\infty} |x|^2\nu([0,T], dx) = \lambda T\mathbb{E} \left[J_1\right]^2 \textless \infty.$$

A seguir, introduzimos o conceito de variação quadrática do processo de Poisson composto $ Y $.

Definição 9.2.5: O processo variação quadrática $ [Y,Y] $ é definido por

$$[Y,Y](t) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(Y(T_n)-Y(T_{n-1})\right)^2 1\!\!1_{\{T_n \ \leq t\}}.$$

Podemos decompor o  processo variação quadrática, na forma 

$$[Y,Y](t) = \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \mu( ds, dx)= \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \mu( ds, dx) - \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \nu(ds, dx) + \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \nu(ds, dx)$$

$$ = \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x^2 (\mu(ds, dx) - \nu(ds, dx)) + \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \nu(ds, dx).$$

Como o processo $ \nu( [0,t], B) $ é compensador de $ \mu(\cdot, [0,t], B) $, definimos o processo angle bracket $ \left\langle Y, Y \right\rangle $ por

$$\left\langle Y, Y\right\rangle(t)= \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \nu(ds, dx) = \int_0^t\int_{-\infty}^{\infty}x^2\lambda F(dx)ds =\lambda t\theta,$$

em que $ \mathbb{E}\left[J_i^2\right] = \theta $, $ i \in \mathbb{N} $. Por construção temos que  $ [Y,Y](t) - \left\langle Y, Y\right\rangle(t) $ é um martingale.

 

 

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