9.3 - Processo Gamma

O processo gamma é um processo cujo os incrementos independentes tem distribuição gamma.

Definição 9.3.1: 

A densidade da função Gamma(a,b) com $a \textgreater 0$, e $b\textgreater 0$ é dada por
$$f_{Gamma}(x,a,b)=\frac{b^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}exp(-xb),~~x\textgreater 0$$
Assim sua função característica é dada por
$$\phi_{Gamma}(u,a,b)=(1-iu/b)^{-a}$$
Portanto o processo Gamma
$$X^{(Gamma)}=\{X_t^{Gamma},t\geq 0\}$$
com parâmetros a,b. Ele é definido como sendo um processo estocástico que começa em zero e é estacionário com incrementos independentes com distribuição Gamma(a,b), ou seja $X_t^{Gamma}-X_0^{Gamma}=X_t^{Gamma}$, tem distribuição $Gamma(at,b)$
 

A tripla de Lévy do processo Gamma é dado por
$$\left[a exp(-bx)x^{-1}1\!\!1_{\{x\textgreater 0\}}dx,0,a(1-exp(-b))/b\right].$$

Para mais propriedades da função Gamma, entre no conteúdo de probabilidades.