9.4 - Processo Gaussiano Inverso

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Definição 9.4.1

A Gaussiana Inversa é uma variável aleatória que pode ser definida como sendo o tempo que um movimento Browniano leva para atingir um determinado patamar pela primeira vez. Em outras palavras, seja $ T^{(a,b)} $ o tempo do movimento Browniano com drift $ b\textgreater 0 $, atingir o valor $ a\textless 0 $, ou seja, o primeiro $ s $ tal que $ \{W_s+bs,~~s\geq 0\} $ atinja $ a $, com $ W $ sendo o movimento Browniano padrão. Esse tempo aleatório é chamado de Gamma Inversa $ IG(a,b) $, sua lei e sua função características são dadas por

$$\phi_{IG}(u,a,b)=exp(-a\sqrt{-2iu+b^2}-b)$$

Quando $ b $ tende a infinito a distribuição gaussiana inversa tende a uma normal. É importante notar que o nome inversa pode enganar já que não é uma inversa direta de uma normal(Gaussiana), o nome inversa vem do fato de que a função geradora dessa distribuição é um logaritmo, que é a função inversa da exponencial.
Assim definimos nosso processo como sendo $ X^{IG}=\{X_t^{IG}, t\geq 0\} $, com parâmetros $ a,b\textgreater 0 $, como sendo um processo que começa em zero e tem incrementos independentes e estacionários, tal que

$$\mathbb{E}[exp(iuX_t^{IG})]=\phi_{IG}(u,at,b)=exp(-at\sqrt{-2iu+b^2}-b)$$

A função densidade de $ IG(a,b) $ é dada por

$$f_{IG}(x,a,b)=\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2\pi}}exp(ab)x^{-3/2}exp\left(-\frac{1}{2}(a^2x^{-1}+b^2x)\right)$$

Assim a medida de Lévy de $ IG(a,b) $ é dada por

$$\nu_{IG}(dx)=(2\pi)^{-1/2}ax^{-3/2}exp\left(\frac{-b^2x}{2}\right)1\!\!1_{(x\textgreater 0)}dx$$

E por fim, o último componente da tripla de Lévy é dado por

$$\alpha=\displaystyle \frac{a}{b}\left(2N(b)-1\right)$$

com

$$N(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-x^2/2)$$

ou seja, a acumulada da $ N(0,1) $
Assim temos a tripla de Lévy dada por

$$\left[(2\pi)^{-1/2}ax^{-3/2}exp\left(\frac{-b^2x}{2}\right)1\!\!1_{(x\textgreater 0)}dx,0,\displaystyle \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-x^2/2)\right]$$

Algumas Propriedades da IG(a,b)}

Seja $ X\sim IG(a,b) $, então

$$\mathbb{E}[X^{-\alpha}]=\displaystyle \left(\frac{b}{a}\right)^{2\alpha+1}\mathbb{E}[X^{\alpha+1}],~~ \alpha\in\mathbb{R}$$

Com a equação acima podemos obter a média e a variância como sendo

$$\mathbb{E}[X]=\displaystyle \frac{a}{b}$$

basta substituir $ \alpha=-1 $ e para variância

$$Var[X]=\displaystyle \frac{a}{b^3}$$

Além disso, temos a seguinte propriedade, se $ X\sim IG(a,b) $, então $ cX\sim(\sqrt{c}a,b/\sqrt{c}) $, para $ c\textgreater 0 $.

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