9.5 - Processo Gaussiano Inverso Generalizado

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Existe uma generalização do processo Gaussiano Inverso, conhecida como Processo Gaussiano Inverso Generalizado o qual denotaremos por $ GIG(\lambda,a,b) $, sua função de densidade é dada por

$$f_{GIG}(x,\lambda,a,b)=\displaystyle \frac{(b/a)^\lambda}{2K_{\lambda}(ab)}x^{\lambda-1 }exp\left(-\frac{1}{2}(a^2x^{-1}+b^2x)\right)$$

com $ \lambda \in \mathbb{R} $ e $ a,b\geq 0 $, porém não podendo ser zero simultaneamente. A função $ K_{\lambda} $ representa a função de Bessel modificada, a qual apresentaremos mais detalhes abaixo.
A função característica é dada por

$$\phi_{GIG}(u,\lambda,a,b)=\displaystyle \frac{1}{K_{\lambda}(ab)}\left(1-\frac{2iu}{b^2}\right)^{\lambda/2}K_{\lambda}(ab\sqrt{1-2iub^{-2}})$$

Assim definimos O processo GIG como sendo um processo no qual os incrementos dos intervalos $ [s,t+s],~~s,t\geq 0 $ tem função característica dada por

$$(\phi_{GIG}(u,\lambda,a,b))^t$$

onde t é o tamanho do intervalo. A medida de Lévy para esse caso é bem complicada e envolve uma densidade na reta real positiva dada abaixo

$$\displaystyle u(x)=x^{-1}exp\left(-\frac{1}{2}b^2x\right)\left(a^2\int_{0}^{\infty}exp(-xz)g(z)dz+max{0,\lambda}\right)$$

no qual

$$g(z)=\displaystyle \left(\pi^2a^2z(J_{|\lambda|}(a2\sqrt{2z})+N^2_{|\lambda|}(a\sqrt{2z}))\right)^{-1}$$

no qual, $ J_{|\lambda|} $ e $ N_{|\lambda|} $  são funções de Bessel que será definida adiante.

Propriedade

O momento da variável $ X\sim GIG(\lambda,a,b) $ é dado por

$$\mathbb{E}[X^k]=\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^k \frac{K_{\lambda+k}(ab)}{K_\lambda(ab)},\quad \alpha\in\mathbb{R}$$

Processo Estocástico

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