1 - Base Estocástica

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O processo estocástico é uma coleção de variáveis aleatórias que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo. Assim, a evolução da informação acumulada ao longo do tempo é fundamental para estudarmos o comportamento do sistema. Esta evolução da informação é definida através de uma coleção encaixante de $\sigma$-álgebras, denominada filtragem. O conceito de filtragem foi introduzido por Doob e corresponde a uma das principais ferramentas para estudarmos processos estocásticos

Dado um espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$, uma filtragem é uma coleção de sub-$\sigma$-álgebras $\{ \mathcal{F}_t : t \geq 0 \}$ de $\mathcal{F}$ tal que $\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t$ para $s \leq t$. Podemos interpretar $\mathcal{F}_t$ como a $\sigma$-álgebra dos eventos que ocorrerarm até o tempo $t$ e a filtragem $\{\mathcal{F}_t : t \geq 0\}$ como a coleção de $\sigma$-álgebras que representam a evolução da informação do sistema.

Definição 1.1: 

Uma base estocástica é um espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ equipado com uma filtragem $\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\in \mathbb{R}_+}$. De forma geral, utilizaremos a seguinte notação $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F} , \mathbb{P})$.

Dado uma filtragem $\mathbb{F}$ associamos as seguintes filtragens:

$$\mathcal{F}_{t^+}=\displaystyle \bigcap_{s\textgreater t}\mathcal{F}_s,$$ para todo $t \geq 0$ e 

$$\mathcal{F}_{t^-}=\sigma\{ \displaystyle \bigcup_{s\textless t}\mathcal{F}_s\}=\bigvee_{s\leq t} \mathcal{F}_s,$$ para todo $t\textgreater 0$. Para $t=0$ utilizamos $\mathcal{F}_{0^-}=\mathcal{F}_0$.

Definição 1.2:

Dizemos que uma filtragem $\mathbb{F}$ é contínua a direita se $\mathcal{F}_t=\mathcal{F}_{t^+},$ para todo $t \geq 0$. Para facilitar a notação tomamos $\mathcal{F}_{\infty}=\mathcal{F}$ e ainda

$$\displaystyle \mathcal{F}_{\infty^-}=\bigvee_{s\in\mathbb{R}_{+}}\mathcal{F}_s.$$

Lembrando que o símbolo $\bigvee$ significa que é a $\sigma$-álgebra gerada pela união das $\mathcal{F}_s$, pois união de $\sigma$-álgebra nem sempre é $\sigma$-álgebra. A base estocástica $\mathfrak{B}=(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P})$ é chamada também de espaço de probabilidade filtrado.

Definição 1.3:

Dizemos que uma base estocástica $\mathfrak{B}=(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P})$ satisfaz as hipóteses usuais da teoria geral de processos estocásticos se:

(i) O espaço $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ é completo.

(ii) $\mathbb{F}$ é $\mathbb{P}$-completada, isto é, $\mathcal{F}_0$ contém todos os conjuntos $\mathbb{P}$-nulos da $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$. Neste caso, temos que todo conjunto $F$ que pertence ao $\mathbb{P}$ completamento de $\mathcal{F}$ com $\mathbb{P}(F)=0$ também pertence a $\mahtcal{F}_t$ para todo $t \geq 0$.;

(iii) A filtragem $\mathcal{F}$ é contínua à direita.

Processo Estocástico

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