1 - Base Estocástica

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O processo estocástico é uma coleção de variáveis aleatórias que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo. Assim, a evolução da informação acumulada ao longo do tempo é fundamental para estudarmos o comportamento do sistema. Esta evolução da informação é definida através de uma coleção encaixante de $ \sigma $-álgebras, denominada filtragem. O conceito de filtragem foi introduzido por Doob e corresponde a uma das principais ferramentas para estudarmos processos estocásticos

Dado um espaço de probabilidade $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $, uma filtragem é uma coleção de sub-$ \sigma $-álgebras  t \geq 0 \} $ de $ \mathcal{F} $ tal que $ \mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t $ para $ s \leq t $. Podemos interpretar $ \mathcal{F}_t $ como a $ \sigma $-álgebra dos eventos que ocorrerarm até o tempo $ t $ e a filtragem  t \geq 0\} $ como a coleção de $ \sigma $-álgebras que representam a evolução da informação do sistema.

Definição 1.1: 

Uma base estocástica é um espaço de probabilidade $ (\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P}) $ equipado com uma filtragem $ \mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\in \mathbb{R}_+} $. De forma geral, utilizaremos a seguinte notação $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F} , \mathbb{P}) $.

Dado uma filtragem $ \mathbb{F} $ associamos as seguintes filtragens:

$$\mathcal{F}_{t^+}=\displaystyle \bigcap_{s\textgreater t}\mathcal{F}_s,$$

para todo $ t \geq 0 $

$$\mathcal{F}_{t^-}=\sigma\{ \displaystyle \bigcup_{s\textless t}\mathcal{F}_s\}=\bigvee_{s\leq t} \mathcal{F}_s,$$

para todo $ t\textgreater 0 $. Para $ t=0 $ utilizamos $ \mathcal{F}_{0^-}=\mathcal{F}_0 $.

Definição 1.2:

Dizemos que uma filtragem $ \mathbb{F} $ é contínua a direita se $ \mathcal{F}_t=\mathcal{F}_{t^+}, $ para todo $ t \geq 0 $. Para facilitar a notação tomamos $ \mathcal{F}_{\infty}=\mathcal{F} $ e ainda

$$\displaystyle \mathcal{F}_{\infty^-}=\bigvee_{s\in\mathbb{R}_{+}}\mathcal{F}_s.$$

Lembrando que o símbolo $ \bigvee $ significa que é a $ \sigma $-álgebra gerada pela união das $ \mathcal{F}_s $, pois união de $ \sigma $-álgebra nem sempre é $ \sigma $-álgebra. A base estocástica $ \mathfrak{B}=(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P}) $ é chamada também de espaço de probabilidade filtrado.

Definição 1.3:

Dizemos que uma base estocástica $ \mathfrak{B}=(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P}) $ satisfaz as hipóteses usuais da teoria geral de processos estocásticos se:

(i) O espaço $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ é completo.

(ii) $ \mathbb{F} $ é $ \mathbb{P} $-completada, isto é, $ \mathcal{F}_0 $ contém todos os conjuntos $ \mathbb{P} $-nulos da $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $. Neste caso, temos que todo conjunto $ F $ que pertence ao $ \mathbb{P} $ completamento de $ \mathcal{F} $ com $ \mathbb{P}(F)=0 $ também pertence a $ \mahtcal{F}_t $ para todo $ t \geq 0 $.;

(iii) A filtragem $ \mathcal{F} $ é contínua à direita.

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