6 - Martingale

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O nome Martingale foi intoduzido na literatura de probabilidade por Ville em 1939 e o termo martingale foi detalhado por Doob nas décadas de 40 e 50. A teoria de martingale, assim como a teoria de probabilidade, tem origem na teoria de jogos de azar. A ideia de martingale expressa o conceito de jogo justo. 

Considere um jogo de azar com duas possibilidades, o apostador ganha ou perde sua aposta. O termo martingale vem da estratégia de jogo denominada "la grand martingale", uma estratégia no qual o apostador dobra sua aposta a cada perda. Se o apostador dobra sua aposta a cada perda, na primeira vez que ganhar, vai recuperar todo o dinheiro investido e ainda terá um  pequeno lucro. Desde que em qualquer jogo sempre temos uma chance positiva de ganhar, esta estratégia nos garante lucro sempre.

Um martingale é um modelo probabilístico para o jogo justo. O que é um jogo justo? Considere o seguinte exemplo. Um dado é jogado e você ganha uma unidade monetária se o resultado for $ 1, 2 $ ou $ 3 $ e você perde a mesma quantidade se o valor for $ 4, 5 $ pu $ 6 $. Neste caso, o ganho esperado é zero, o que significa que não podemos ganhar sistematicamente. Denotamos por $ Y_n $ a fortuna do apostador na etapa $ n $, ou seja, $ Y_n= X_0 + X_1 + \cdots + X_n $, nos quais $ X_0 $ é a fortuna inicial do apostador e $ X_i $ é o resultado do jogo na etapa $ i $. Por construção, temos que $ X_i=1 $ ou $ X_i=-1 $ com probabilidade $ 0,5 $ para todo $ i=1, \cdots , n $. Além disso, assumimos que as variáveis aleatórias $ X_1, \cdots , X_n $ são independentes. Desta forma, o processo estocástico  n \geq 1\} $ é um martingale. 

A questão é: qual a característica essencial de um martigale. Confome ilustrado no exemplo, o martingale mantém saltos de tamanho esperado zero ao longo das etapas.  A consequência é que o valor esperado de $ Y_{n+1} $ dado $ Y_n $ é o mesmo valor da etapa $ n $ (ou seja, $ Y_n $).  Outra questão importante é como podemos nos beneficiar do conceito de martingale. Suponha que o processo de interesse seja um martingale. Então, se nós conhecemos o estado atual do processo, também temos uma infomação valiosa sobre seu futuro. Sabemos que o valor esperado de amanhã é igual ao valor de hoje, que é conhecido. Em qualquer área de aplicação, ter conhecimentos sosbre o futuro é essencial. Para maiores detalhes ver Modelo de Black e Scholes

Na sequência, vamos defninr uma estratura probabilísica que mantém  esta propriedade.  Considere $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade completo e n \geq 0\} $ uma filtragem discreta, isto é, uma sequência de sub-$ \sigma $-álgebras de $ \mathcal{F} $ satisfazendo $ \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1} \subset \cdots \subset\mathcal{F} $. Denotamos por,

= \sigma \left( \bigcup_n \mathcal{F}_n \right) \subset \mathcal{F}.$$

O conceito de filtragem, introduzido por Doob, é utilizado para expressar o ganho de infomação ao longo das etapas. Dado  n \geq 0\} $ um processo estocástico definido sobre o espaço de probabilidade  $ (\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P}) $, a filtragem natural do processo estocástico $ Y $ é definida por:

$$\mathcal{F}_n = \sigma\{Y_0, Y_1, \cdots , Y_n\}, \quad n \geq 0.$$

Um processo estocástico  n \geq 0\} $ é adaptado à filtragem $ \mathbb{F} $ se $ Y_n $ é $ \mathcal{F}_n $-mensurável. Se $ Y $ é adaptado, então o valor de $ Y_n (\omega) $ é conhecido na etapa $ n $

Definição 6.1:

Um processo estocástico discreto $ X=\{X_n, n \geq 0\} $ satisfazendo

1) $ X_n $ é $ \mathcal{F}_n $-mensurável, para todo $ n \geq 0 $. Neste caso, dizemos que o processo estocástico $ X $ é adaptado à filtragem $ \mathbb{F} $;

2) $ \mathbb{E} \mid X_n \mid \textless \infty $, para todo $ n \geq 1 $;

3) $ \mathbb{E}[X_n \mid\mathcal{F}_{n-1}]=X_{n-1} $, $ n \geq 1 $ é denominado martingale, se

3a) $ \mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{F}_{n-1}]\geq X_{n-1}, $ é denominado submartingale, se

3b) $ \mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{F}_{n-1}]\leq X_{n-1} $, é denominado supermartingale.

 

Lema 6.1:

Seja X um processo estocástico discreto, então X é um martingale se, e somente se, $ \mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_s]=X_s $, para qualquer $ n \geq s $.

Demonstração: 

De fato, suponha que $ \mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_s]=X_s $, para qualquer $ s\textless n $, então ao tomarmos $ s=n-1 $ chegamos a definição de martingale. Agora suponha que X é um martingale, logo

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_{n-1}]=X_{n-1}.$$

Assim, temos que

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_{s}]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_{n-1}]|\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[X_{n-1}|\mathcal{F}_s].$$

Assim usando indução finita, temos que 

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_s]=X_s,$$

e o resultado segue.

$ \Box $

Se  n \geq 1\} $ for um supermartingale, temos que  n \geq 1\} $ é um submartingale. Portanto,as propriedades dos  submaringales são similares aos supermatingales. Além disso, se um processo estocástico   n \geq 1\} $ tem a propriedade de  submartingale e  a propriedade de supermartingale , então ele é um martingale. Se $ X $ é um supermartingale, temos $ \mathbb{E} X_n \leq \mathbb{E} X_{n+1} $ para todo $ n \geq 1 $. Agora, se $ X $ é um martingale temos que $ \mathbb{E} X_n =\mathbb{E} X_{n+1} $ para todo $ n \geq 1 $.

Definição 6.2:

Seja $ \{Y_n,n\geq 1\} $ um processo estocástico e seja $ \{\mathcal{F}_n,n\geq 1\} $ uma filtragem. Se

$$\mathbb{E}[Y_n|\mathcal{F}_{n-1}]=0,$$

dizemos que $ \{Y_n, \mathcal{F}_n, n\geq 1\} $ é um martingale array difference.

Obviamente que temos uma relação simples entre martingales e martingale array difference. Se  n \geq 1\} $ é um martingale, então o processo  n \geq 1\} $ com $ \xi_0 = X_0 $ e $ \xi_n = \Delta X_n $ para todo $ n \geq 1 $ é um martingale array difference, no qual $ \Delta X_n = X_n - X_{n-1} $. Por outro lado, se $ \xi $ é um martingale array diffeence, então  n \geq 1\} $ é um martingale, no que $ X_n = \xi_1 + \cdots \xi_n $ para todo $ n \geq 1 $.

A seguir apresentamos alguns exemplos de martingales. 

Exemplo 6.1: 

Seja  n \geq 1\} $ uma sequência de variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e identicamente distribuídas tal que $ \mathbb{P} [\eta_n = 1]=p $$ \mathbb{P} [\eta_n = -1]=q $, $ p+q=1 $ e $ p,q \textgreater 0 $. Interpretamos o evento $ \{\eta_n=1\} $ como sucesso (ganho) e o evento $ \eta_n=-1\} $ como falha (perda) do jogador na $ n $-ésima rodada. Suponha que na $ n $-ésima rodada o jogador aposte $ V_n $. Neste caso, o ganho total do jogador até a $ n $-ésima rodada é dado por:

$$X_n=X_{n-1} + V_n \eta_n, \quad X_0=0.$$

 

É natural admitirmos que a aposta $ V_n $ investida na $ n $-ésima rodada pode depender dos resultados das rodadas anteriores, isto é, depende de $ V_1, \cdots , V_{n-1} $ e $ \eta_1, \cdots , \eta_{n-1} $. Em outras palavras, tomamos $ \mathcal{F}_0 = \{\Omega, \emptyset\} $ e $ \mathcal{F}_n = \sigma \{\eta_1, \cdots , \eta_n\} $. Neste caso, obtemos que a estratégia do jogador na rodada $ n $, dada por $ V_n $, é $ \mathcal{F}_{n-1} $-mensurável. Então, dizemos que a estratégia $ V_n $ é previsível. Ao denotarmos $ Y_n = \eta_1 + \cdots + \eta_n $, concluímos que

$$X_n = \sum_{i=1}^n V_i \Delta Y_i, \quad n \geq 1,$$

no qual $ \Delta Y_i = Y_i - Y_{i-1} $.

Do ponto de vista do jogador, dizemos que o jogo é justo (favorável ou desfavorável) se, para qualquer rodada do jogo, temos que

$$\mathbb{E} [X_{n+1} - X_n \mid \mathcal{F}_n] = 0 \quad (\geq 0, \leq 0).$$

Desta forma, obtemos que o jogo é justo se $ p=q=1/2 $, favorável se $ p \textgreater q $ e desfavorável se $ p \textless q $. Desde que  \geq 1\} $ é um martingale se $ p=q=1/2 $, submartingale se $ p \textgreater q $ e um supermartingale se $ p \textless q $, podemos dizer que as sposições sobre jogo justo estão relacionadas com o conceito de martingale. 

Considere uma classe especial de estratégias  n \geq 1\} $ com $ V_1=1 $ e para todo $ n \textgreater 1 $, tomamos $ V_n = 2^{n-1} $ se $ \eta_1 = \cdots , \eta_{n-1}=-1 $ e $ V_n=0 $ caso contrário. Nesta estratégia, o jogador começa com $ V_1=1 $ e dobra a aposta cada vez que perder. Alem disso, o jogador para o jogo na primeira rodada que ganhar.  Se $ \eta_1 = cdots = \eta_n=-1 $, a perda total do jogador nas primeiras $ n $ rodadas é dado por:

$$\sum_{i=1}^n 2^{i-1} = 2^n - 1.$$

Portanto, se obtivermos $ \eta_{n+1}=1 $, concluímos que

$$X_{n+1} = X_n + V_{n+1}= -(2^n - 1) + 2^n =1.$$

Na prática de jogos de azar, este sistema de jogo (dobra a aposta a cada rodada perdida e para o jogo assim que ganhar) é denominado martingale. Como dissemos, esta é a origem do termo matemático "Martingale". 

Exemplo 6.2:

Consideramos o exemplo 1, se quisermos ao invés de ir para casa apenas 1 real mais rico quisermos ir $ x $ reais mais rico, basta apostarmos no primeiro lançamento x reais e ir dobrando nos lançamentos seguintes.

Exemplo 6.3: 

Seja T uma variável aleatória integrável e seja  $ \{\mathbb{F}=\mathcal{F}_n, n\geq 1\} $ uma filtragem. Tomamos 

$$T_n=\mathbb{E}[T|\mathcal{F}_n],$$

para cada $ n\geq 1 $. Desde que

$$\mathbb{E}[T_n|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[T|\mathcal{F}_n]|\mathcal{F}_{n-1}]=T_{n-1}, \quand n \geq 1,$$

concluímos que  n \geq 1\} $ é um martingale.

 

Exemplo 6.4:

Sejam  n \geq 1\} $ variáveis aleatórias independentes com $ \mathbb{E}[Y_j]=1 $ para todo $ j\geq 1 $. Então, o processo estocástico  n \geq 1\} $ com $ \displaystyle X_n=\prod_{k=1}^{n}Y_k $ e j=1,\cdots n) $ é um martingale. Basta notarmos que

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_j]=\mathbb{E}\left[\prod_{k=1}^{n}Y_k|\mathcal{F}_j\right]=\mathbb{E}\left[\left(\prod_{k=1}^{j}Y_k\right)\left(\prod_{k=j+1}^{n}Y_k\right)|\mathcal{F}_j\right]= \prod_{k=1}^{j}Y_k \mathbb{E}\left[\prod_{k=j+1}^{n}Y_k\right]=X_j. $$

Processo Estocástico

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