6 - Martingale

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O nome Martingale foi intoduzido na literatura de probabilidade por Ville em 1939 e o termo martingale foi detalhado por Doob nas décadas de 40 e 50. A teoria de martingale, assim como a teoria de probabilidade, tem origem na teoria de jogos de azar. A ideia de martingale expressa o conceito de jogo justo. 

Considere um jogo de azar com duas possibilidades, o apostador ganha ou perde sua aposta. O termo martingale vem da estratégia de jogo denominada "la grand martingale", uma estratégia no qual o apostador dobra sua aposta a cada perda. Se o apostador dobra sua aposta a cada perda, na primeira vez que ganhar, vai recuperar todo o dinheiro investido e ainda terá um  pequeno lucro. Desde que em qualquer jogo sempre temos uma chance positiva de ganhar, esta estratégia nos garante lucro sempre.

Um martingale é um modelo probabilístico para o jogo justo. O que é um jogo justo? Considere o seguinte exemplo. Um dado é jogado e você ganha uma unidade monetária se o resultado for $1, 2$ ou $3$ e você perde a mesma quantidade se o valor for $4, 5$ pu $6$. Neste caso, o ganho esperado é zero, o que significa que não podemos ganhar sistematicamente. Denotamos por $Y_n$ a fortuna do apostador na etapa $n$, ou seja, $Y_n= X_0 + X_1 + \cdots + X_n$, nos quais $X_0$ é a fortuna inicial do apostador e $X_i$ é o resultado do jogo na etapa $i$. Por construção, temos que $X_i=1$ ou $X_i=-1$ com probabilidade $0,5$ para todo $i=1, \cdots , n$. Além disso, assumimos que as variáveis aleatórias $X_1, \cdots , X_n$ são independentes. Desta forma, o processo estocástico $\{Y_n: n \geq 1\}$ é um martingale. 

A questão é: qual a característica essencial de um martigale. Confome ilustrado no exemplo, o martingale mantém saltos de tamanho esperado zero ao longo das etapas.  A consequência é que o valor esperado de $Y_{n+1}$ dado $Y_n$ é o mesmo valor da etapa $n$ (ou seja, $Y_n$).  Outra questão importante é como podemos nos beneficiar do conceito de martingale. Suponha que o processo de interesse seja um martingale. Então, se nós conhecemos o estado atual do processo, também temos uma infomação valiosa sobre seu futuro. Sabemos que o valor esperado de amanhã é igual ao valor de hoje, que é conhecido. Em qualquer área de aplicação, ter conhecimentos sosbre o futuro é essencial. Para maiores detalhes ver Modelo de Black e Scholes

Na sequência, vamos defninr uma estratura probabilísica que mantém  esta propriedade.  Considere $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade completo e $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_n:n \geq 0\}$ uma filtragem discreta, isto é, uma sequência de sub-$\sigma$-álgebras de $\mathcal{F}$ satisfazendo $\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1} \subset \cdots \subset\mathcal{F}$. Denotamos por, $$\mathcal{F}_{\infty} := \sigma \left( \bigcup_n \mathcal{F}_n \right) \subset \mathcal{F}.$$

O conceito de filtragem, introduzido por Doob, é utilizado para expressar o ganho de infomação ao longo das etapas. Dado $Y=\{Y_n : n \geq 0\}$ um processo estocástico definido sobre o espaço de probabilidade  $(\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P})$, a filtragem natural do processo estocástico $Y$ é definida por: $$\mathcal{F}_n = \sigma\{Y_0, Y_1, \cdots , Y_n\}, \quad n \geq 0.$$

Um processo estocástico $Y=\{Y_n : n \geq 0\}$ é adaptado à filtragem $\mathbb{F}$ se $Y_n$ é $\mathcal{F}_n$-mensurável. Se $Y$ é adaptado, então o valor de $Y_n (\omega)$ é conhecido na etapa $n$. 

Definição 6.1:

Um processo estocástico discreto $X=\{X_n, n \geq 0\}$ satisfazendo

1) $X_n$ é $\mathcal{F}_n$-mensurável, para todo $n \geq 0$. Neste caso, dizemos que o processo estocástico $X$ é adaptado à filtragem $\mathbb{F}$;

2) $\mathbb{E} \mid X_n \mid \textless \infty$, para todo $n \geq 1$;

3) $\mathbb{E}[X_n \mid\mathcal{F}_{n-1}]=X_{n-1}$, $n \geq 1$ é denominado martingale, se

3a) $\mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{F}_{n-1}]\geq X_{n-1},$ é denominado submartingale, se

3b) $\mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{F}_{n-1}]\leq X_{n-1}$, é denominado supermartingale.

 

Lema 6.1:

Seja X um processo estocástico discreto, então X é um martingale se, e somente se, $\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_s]=X_s$, para qualquer $n \geq s$.

Demonstração: 

De fato, suponha que $\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_s]=X_s$, para qualquer $s\textless n$, então ao tomarmos $s=n-1$ chegamos a definição de martingale. Agora suponha que X é um martingale, logo $$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_{n-1}]=X_{n-1}.$$ Assim, temos que $$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_{s}]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_{n-1}]|\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[X_{n-1}|\mathcal{F}_s].$$ Assim usando indução finita, temos que  $$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_s]=X_s,$$ e o resultado segue.

$\Box$

Se $X=\{X_n : n \geq 1\}$ for um supermartingale, temos que $Z=\{-X_n : n \geq 1\}$ é um submartingale. Portanto,as propriedades dos  submaringales são similares aos supermatingales. Além disso, se um processo estocástico  $X=\{X_n : n \geq 1\}$ tem a propriedade de  submartingale e  a propriedade de supermartingale , então ele é um martingale. Se $X$ é um supermartingale, temos $\mathbb{E} X_n \leq \mathbb{E} X_{n+1}$ para todo $n \geq 1$. Agora, se $X$ é um martingale temos que $\mathbb{E} X_n =\mathbb{E} X_{n+1}$ para todo $n \geq 1$.

Definição 6.2:

Seja $\{Y_n,n\geq 1\}$ um processo estocástico e seja $\{\mathcal{F}_n,n\geq 1\}$ uma filtragem. Se $$\mathbb{E}[Y_n|\mathcal{F}_{n-1}]=0,$$ dizemos que $\{Y_n, \mathcal{F}_n, n\geq 1\}$ é um martingale array difference.

Obviamente que temos uma relação simples entre martingales e martingale array difference. Se $X=\{X_n : n \geq 1\}$ é um martingale, então o processo $\xi = \{\xi_n : n \geq 1\}$ com $\xi_0 = X_0$ e $\xi_n = \Delta X_n$ para todo $n \geq 1$ é um martingale array difference, no qual $\Delta X_n = X_n - X_{n-1}$. Por outro lado, se $\xi$ é um martingale array diffeence, então $X=\{X_n : n \geq 1\}$ é um martingale, no que $X_n = \xi_1 + \cdots \xi_n$ para todo $n \geq 1$.

A seguir apresentamos alguns exemplos de martingales. 

Exemplo 6.1: 

Seja $\{\eta_n : n \geq 1\}$ uma sequência de variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e identicamente distribuídas tal que $\mathbb{P} [\eta_n = 1]=p$ e $\mathbb{P} [\eta_n = -1]=q$, $p+q=1$ e $p,q \textgreater 0$. Interpretamos o evento $\{\eta_n=1\}$ como sucesso (ganho) e o evento $\eta_n=-1\}$ como falha (perda) do jogador na $n$-ésima rodada. Suponha que na $n$-ésima rodada o jogador aposte $V_n$. Neste caso, o ganho total do jogador até a $n$-ésima rodada é dado por: $$X_n=X_{n-1} + V_n \eta_n, \quad X_0=0.$$ 

É natural admitirmos que a aposta $V_n$ investida na $n$-ésima rodada pode depender dos resultados das rodadas anteriores, isto é, depende de $V_1, \cdots , V_{n-1}$ e $\eta_1, \cdots , \eta_{n-1}$. Em outras palavras, tomamos $\mathcal{F}_0 = \{\Omega, \emptyset\}$ e $\mathcal{F}_n = \sigma \{\eta_1, \cdots , \eta_n\}$. Neste caso, obtemos que a estratégia do jogador na rodada $n$, dada por $V_n$, é $\mathcal{F}_{n-1}$-mensurável. Então, dizemos que a estratégia $V_n$ é previsível. Ao denotarmos $Y_n = \eta_1 + \cdots + \eta_n$, concluímos que $$X_n = \sum_{i=1}^n V_i \Delta Y_i, \quad n \geq 1,$$ no qual $\Delta Y_i = Y_i - Y_{i-1}$.

Do ponto de vista do jogador, dizemos que o jogo é justo (favorável ou desfavorável) se, para qualquer rodada do jogo, temos que $$\mathbb{E} [X_{n+1} - X_n \mid \mathcal{F}_n] = 0 \quad (\geq 0, \leq 0).$$ Desta forma, obtemos que o jogo é justo se $p=q=1/2$, favorável se $p \textgreater q$ e desfavorável se $p \textless q$. Desde que $X=\{X_n : \geq 1\}$ é um martingale se $p=q=1/2$, submartingale se $p \textgreater q$ e um supermartingale se $p \textless q$, podemos dizer que as sposições sobre jogo justo estão relacionadas com o conceito de martingale. 

Considere uma classe especial de estratégias $V=\{V_n : n \geq 1\}$ com $V_1=1$ e para todo $n \textgreater 1$, tomamos $V_n = 2^{n-1}$ se $\eta_1 = \cdots , \eta_{n-1}=-1$ e $V_n=0$ caso contrário. Nesta estratégia, o jogador começa com $V_1=1$ e dobra a aposta cada vez que perder. Alem disso, o jogador para o jogo na primeira rodada que ganhar.  Se $\eta_1 = cdots = \eta_n=-1$, a perda total do jogador nas primeiras $n$ rodadas é dado por: $$\sum_{i=1}^n 2^{i-1} = 2^n - 1.$$ Portanto, se obtivermos $\eta_{n+1}=1$, concluímos que $$X_{n+1} = X_n + V_{n+1}= -(2^n - 1) + 2^n =1.$$ Na prática de jogos de azar, este sistema de jogo (dobra a aposta a cada rodada perdida e para o jogo assim que ganhar) é denominado martingale. Como dissemos, esta é a origem do termo matemático "Martingale". 

Exemplo 6.2:

Consideramos o exemplo 1, se quisermos ao invés de ir para casa apenas 1 real mais rico quisermos ir $x$ reais mais rico, basta apostarmos no primeiro lançamento x reais e ir dobrando nos lançamentos seguintes.

Exemplo 6.3: 

Seja T uma variável aleatória integrável e seja  $\{\mathbb{F}=\mathcal{F}_n, n\geq 1\}$ uma filtragem. Tomamos $$T_n=\mathbb{E}[T|\mathcal{F}_n],$$ para cada $n\geq 1$. Desde que $$\mathbb{E}[T_n|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[T|\mathcal{F}_n]|\mathcal{F}_{n-1}]=T_{n-1}, \quand n \geq 1,$$ concluímos que $\{T_n : n \geq 1\}$ é um martingale.

 

Exemplo 6.4:

Sejam $\{Y_n : n \geq 1\}$ variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{E}[Y_j]=1$ para todo $j\geq 1$. Então, o processo estocástico $X=\{X_n : n \geq 1\}$ com $\displaystyle X_n=\prod_{k=1}^{n}Y_k$ e $\mathcal{F}_n=\sigma(Y_j:j=1,\cdots n)$ é um martingale. Basta notarmos que

$$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_j]=\mathbb{E}\left[\prod_{k=1}^{n}Y_k|\mathcal{F}_j\right]=\mathbb{E}\left[\left(\prod_{k=1}^{j}Y_k\right)\left(\prod_{k=j+1}^{n}Y_k\right)|\mathcal{F}_j\right]= \prod_{k=1}^{j}Y_k \mathbb{E}\left[\prod_{k=j+1}^{n}Y_k\right]=X_j. $$

Processo Estocástico

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