8 - Movimento Browniano

Você está aqui

Existem diversos fenômenos biológicos, físicos, entre outros, baseados na aleatoriedade. Um exemplo clássico, de fundamental importância, em que podemos perceber a aleatoriedade está relacionado com o movimento dos preços de ativos e índices financeiros.  Apesar disso, este não é o único exemplo em que temos significantes flutuações aleatórias. Por exemplo, em biologia, temos equações diferenciais que representam interações entre predadores e presas. Tais modelos, geralmente, são escritos utilizando modelos de equações diferenciais ordinárias. Entretanto, tais populações vivem em ambientes sujeitos a eventos aleatórios que não estão previstos nestas equações. A partir do teorema central do limite, assumimos que estas influências aleatórias dos processos são acumuladas de forma a tornarem-se uma distribuição normal. Neste sentido, um dos principais processos estocásticos é o movimento Browniano.

O movimento Browniano é um processo estocástico nomeado após o botânico Robert Brown observar em 1826 o movimento aleatório do pólen em seu microscópio. Inicialmente, ele imaginou que o pólen estivesse vivo e, por isso, estaria se movimentando. Mais tarde, foi verificado que, na verdade, o movimento se dava devido a pequenos, porém incessantes impactos aleatórios do pólen com moléculas de ar. Dente algumas aplicações para o movimento Browniano, destacamos o estudo de partículas microscópicas, a variação dos preços de ativos no mercado, o ruído térmico em circuitos elétricos e, até mesmo, variações e mutações genéticas. A definição formal é dada abaixo.

Definição 8.1: (Movimento Browniano Unidimensional padrão) 

Um movimento Browniano contínuo é um processo adaptado $B=\{B_t,\mathcal{F}_t:0\leq t\textless \infty\}$, definido sobre $(\Omega,\mathcal{A},P)$, com as seguintes propriedades:

  1. $B_0=0$ quase certamente, isto é, $\mathbb{P}(B_0 = 0) = 1$;
  2. Para qualquer $0\leq s \ \textless \ t $, o incremento $B_t-B_s$ tem distribuição normal com média zero e variância t-s, isto é, $B_t - B_s\sim N(0,t-s)$ ou \[\mathbb{P}(a\leq B_t-B_s\leq b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\int_a^b\exp\left(-\frac{x^2}{2(t-s)}\right).\]
  3. $B_t$ tem incrementos independentes, isto é, para quaisquer $0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ t_2 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_n$, as variáveis aleatórias \[B_{t_1}, B_{t_2}-B_{t_1},\ldots,B_{t_n}-B_{t_{n-1}}\] são independentes.
  4. As trajetórias de $B_t$ são função contínuas quase certamente, isto é, \[\mathbb{P}(B_{\cdot}(\omega) \ \text{ser contínua}) = 1.\]

O movimento Browniano também é denominado de Processo de Wiener, já que foi Wiener quem formalizou suas propriedades no século XX. Diretamente da definição do movimento browniano, concluímos que $\mathbb{E}(B_t)=0$, $~Var(B_t)=t$ e $Cov[B_t,B_s]=min(t,s)$.

Propriedades elementares do movimento Browniano

A partir das propriedades acima, podemos simular, de maneira bastante eficiente, trajetórias do movimento Browniano. A fim de simular estas trajetórias no intervalo $[0,T]$, consideramos os instantes $0 = t_0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ t_2 \ \textless \ \ldots \ \textless t_n = T$ de forma que $\Delta t_j = t_j -t_{j-1} = h$. Então, podemos determinar o valor de $B_{t_j}$ a partir do valor de $B_{t_{j-1}}$ utilizando a propriedade de incrementos independentes da forma \[B_{t_j} = B_{t_{j-1}} + (B_{t_j} - B_{t_{j-1}}) = B_{t_{j-1}} + \sqrt{h}Z_j \ \text{com} \ Z_j\sim N(0,1) \ \text{e com} \ B_0 = 0.\]

Portanto, conhecido o valor do movimento Browniano no instante $t_{j-1}$, para encontrar o valor $B_{t_j}$, basta simular um valor de uma distribuição normal padrão e utilizar a fórmula acima. Desta forma, o algoritmo para simulação de uma trajetória do movimento Browniano no instante $[0,T]$ pode ser construído a partir dos passos abaixo.

  1. Definir o instante final $T$ de simulação.
  2. Definir o número $n$ de subintervalos do intervalo $[0,T]$.
  3. O tamanho dos subintervalos é calculado da forma $h = T/n$.
  4. No instante inicial, o movimento Browniano assume o valor zero, isto é, $B_0 = 0$
  5. Para cada $j= 1,\ldots,n$, simulamos uma variável $Z_j$ com distribuição normal padrão, isto é, $Z_j\sim N(0,1)$. Então, o valor do movimento Browniano no instante $t_j$ é dado por $B_{t_j} = B_{t_{j-1}} + \sqrt{h}Z_j$.

Na figura a seguir, temos a simulação de 5 trajetórias do movimento Browniano no intervalo $[0,1]$. Utilizamos $500$ instantes para a partição do intervalo e, além disso, os subintervalos são igualmente espaçados com tamanho $h = \frac{1}{500}$.

Na sequência, vamos utilizar o teorema central do limite (TCL) para apresentar uma ideia intuitiva do comportamento do movimento browniano. O TCL nos diz, que sob condições gerais, a soma de variáveis aleatórias independentes de impacto individual "pequeno" tem distribuição "aproximadamente" normal. Ao considerarmos tais somas como processos, podemos obter aproximações para o movimento browniano.

Como consequência do TCL, ao tomarmos ma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) $\xi_1, \xi_2, \cdots$ com $\mathbb{E}(\xi_n)=0$ and $Var(\xi_n)=1$, obtemos que $$\frac{X_n}{\sqrt{n}} \rightarrow \xi=N(0,1), \quad \text{quando} ~ n \rightarrow \infty,$$ no qual $X_n=\xi_1, \cdots , \xi_n$ para todo $n \geq 1$.  

Para estendermos a sequência de variáveis aleatórias $\{X_n\}$ para um processos estocástico $\{X_t : t \geq 0\}$ tomamos $$X_t=X_{[t]}=X_k, \quad t \in [k,k+1), ~k\in \mathbb{N} \cup \{0\},$$ no qual $[t]$ denota a parte inteira do número $t$.  Como consequência do TCL, $$X^n_t=\frac{X_{nt}}{\sqrt{n}} \rightarrow B_t \sim N(0,t).$$ Na realidade, temos que $$\frac{X_{nt}}{\sqrt{n}}=\frac{X_{[nt]}}{\sqrt{[nt]}}\sqrt{\frac{[nt]}{n}}\rightarrow \xi \sqrt{n} \sim N(0,t), \quad \text{quando} ~n \rightarrow \infty,$$ no qual utilizamos o fato de que $[nt]/n \rightarrow t$ quando $n \rightarrow \infty$ para todo $t \geq 0$. Portanto, para todo $t\geq 0$ fixo, a sequência de variáveis aleatórias $\{X^n_t\}$ converge em distribuição para a variável aleatória $B_t \sim N(0,t)$. Entretanto, isto não significa que a sequência de processos estocásticos $\{X_n\}$ converge, em algum sentido, para o movimento browniano. A construção do movimento browniano está na próxima seção.  A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares do movimento browniano.

Proposição 8.1:

Para um $t_0 \geq 0$ fixo, o processo estocástico $\tilde{B}_t = B_{t+t_0} - B_{t_0}$ também é um movimento Browniano.

Demonstração: É imediato que $\tilde{B}_0 = 0$ quase certamente e que $\tilde{B}_t$ tem trajetórias contínuas quase certamente, de forma que as condições (1) e (4) são satisfeitas. Agora, para qualquer $s \ \textless \ t$, temos que \[\tilde{B}_t - \tilde{B}_s = B_{t+t_0} - B_{s+t_0} = B_{t - s + s + t_0} - B_{s+t_0}\] de onde concluímos que $\tilde{B}_t - \tilde{B}_s$ tem distribuição normal com média $0$ e variância $t-s$, demonstrando a condição (2). Para verificar a condição (3), seja $0 \ \textless \ t_0$. Então, para qualquer $0 \leq t_1 \ \textless \ t_2 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_n$, segue que $0 \ \textless \ t_0 \ \leq t_1 + t_0 \ \textless \ t_2+t_0 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_n+t_0$. Portanto, da condição (3) de $B_t$, $\tilde{B}_{t_k} - \tilde{B}_{t_{k-1}} = B_{t_k+t_0} - B_{t_{k-1} + t_0}, \ k = 1, 2, \ldots, n$, são variáveis aleatórias independentes. Portanto, concluímos que $\tilde{B}_t$ é um movimento Browniano.

Outra importante propriedade é que o movimento Browniano não é diferenciável em qualquer ponto quase certamente. De fato, se $t \ \textgreater \ t_0$, o incremento $B_{t} - B_{t_0}$ é uma variável aleatória normal com média $0$ e variância $t-t_0$. Portanto, temos que $(B_{t}-B_{t_0})/(t-t_0)$ é uma variável aleatória normal com média $0$ e variância $t-t_0$. Desta forma, quando $t\rightarrow t_0$, a variância desta variável aleatória vai para infinito.

Proposição 8.2: 

Para todo $t_0$, temos que \[\limsup_{t\rightarrow t_0}\left|\frac{B_t-B_{t_0}}{t-t_0}\right|=\infty \ \text{q.c}\] o que implica que, para qualquer $t_0$, quase toda trajetória $B_t$ não é diferenciável neste ponto.

Demonstração: Sem perda de generalidade, suponha que $t_0 = 0$ e considere o evento \[A(h) = \left\{\omega :\sup_{0 \textless t\leq h}\left|\frac{B_s(\omega)}{s}\right| \ \textgreater \ D\right\}.\]

Então, para qualquer sequência $\{h_n\}$ decrescente e convergindo para $0$, temos que \[A(h_n)\supset A(h_{n+1}),\] e \[A(h_n) \supset \left\{\left|\frac{B_{h_n}}{h_n}\right| \ \textgreater \ D \right\}.\]

Portanto, \[\mathbb{P}(A(h_n)) \geq \mathbb{P}\left(|B_{h_n}/\sqrt{h_n}| \ \textgreater \ D\sqrt{h_n}\right) = \mathbb{P}(|B_1| \ \textgreater \ D\sqrt{h_n}) \rightarrow 1, \ n\rightarrow \infty.\]

Então, \[\mathbb{P}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A(h_n)\right) = \lim_{n\rightarrow\infty} \mathbb{P}(A(h_n)) = 1.\]

De onde segue que \[\sup_{0 \textless s \leq h_n}\left|\frac{B_s}{s}\right| \geq D \ \text{q.c para todo} \ n \ \text{e} \ D \ \textgreater 0.\]

Portanto, \[\lim_{h\rightarrow 0}\sup_{0 \textless s \leq h}\left|\frac{B_s}{s}\right| = \infty \ \text{q.c}.\] Segue a proposição.

A proposição acima nos diz que, apesar do movimento browniano ter trajetórias contínuas, estas não apresentam derivada em qualquer ponto $0 \leq t \textless \infty$.

Proposição 8.3

Seja $\pi_n $ uma sequência de partições de $[a, a+t]$. Suponha que $\pi_m \subset \pi_n $ para $m \textless n$. Suponha também que o limite das partições vá para zero. Seja $\pi_n B = \sum_{t_i \in \pi_n} (B_t_{i+1} - B_t_i )^2 $ então $\lim_{n \to \infty} \pi_n B = t $ em probabilidade.

Demonstração:

\[\pi_n B - t = \sum_{t_i \in \pi_n } [(B_t_{i+1} - B_t_i )^2 - (t_{i+1} - t_i )] = \sum_ i Y_i \]
Onde $Y_i $ são variáveis aleatórias independentes com média zero. Portanto 
\[ \mathbb{E} [(\pi_n B - t)^2 ] = \mathbb{E} [(\sum_i Y_i )^2 ] = \sum_i \mathbb{E} (Y_i )^2 \]
Como $(B_t_{i+1} - B_t_i )$ tem distribuição normal com média zero e variância $t_{i+1} - t_i$, temos que
\[\frac{(B_t_{i+1} - B_t_i )^2 }{(t_{i+1} - t_i)} = Z^2 \]
tem distribuição qui-quadrado.
 \[\mathbb{E} [(\pi_n B - t)^2]=\mathbb{E} [\sum (t_{i+1} - t_i )^2 (Z^2 -1)^2 ] = \]
\[ = \sum (t_{i+1} - t_i )^2 \mathbb{E}[(Z^2 - 1)^2 ] \leq \mathbb{E}[(Z^2 - 1)^2 ] \hbox{mesh} (\pi_n )t \to 0 \]

Denotamos por $\mathcal{F}_t$ a $\sigma$-álgebra $\sigma\{B_s:s\leq t\}$ gerada por todas as variáveis aleatórias $B_s, ~s\leq t$, e todos os conjuntos de probabilidade nula. Em outras palavras, $\mathcal{F}_t$ é a menor $\sigma$-álgebra para o qual todas as variáveis aleatórias $\{B_s:~s\leq t\}$ são mensráveis e contém todas os conjuntos de probabilidade nula. Portanto, a história do movimento browniano até o tempo $t$ é dada pela classe de todas as variáveis aleatórias que são $\mathcal{F}_t$ mensuráveis. A família de $\sigma$-álgebras $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t: t \geq 0\}$ é denominada filtragem interna associada ao movimento browniano. 

Na próxima seção, discutimos a questão de existência do movimento browniano.

 

Processo Estocástico

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]