8 - Movimento Browniano

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Existem diversos fenômenos biológicos, físicos, entre outros, baseados na aleatoriedade. Um exemplo clássico, de fundamental importância, em que podemos perceber a aleatoriedade está relacionado com o movimento dos preços de ativos e índices financeiros.  Apesar disso, este não é o único exemplo em que temos significantes flutuações aleatórias. Por exemplo, em biologia, temos equações diferenciais que representam interações entre predadores e presas. Tais modelos, geralmente, são escritos utilizando modelos de equações diferenciais ordinárias. Entretanto, tais populações vivem em ambientes sujeitos a eventos aleatórios que não estão previstos nestas equações. A partir do teorema central do limite, assumimos que estas influências aleatórias dos processos são acumuladas de forma a tornarem-se uma distribuição normal. Neste sentido, um dos principais processos estocásticos é o movimento Browniano.

O movimento Browniano é um processo estocástico nomeado após o botânico Robert Brown observar em 1826 o movimento aleatório do pólen em seu microscópio. Inicialmente, ele imaginou que o pólen estivesse vivo e, por isso, estaria se movimentando. Mais tarde, foi verificado que, na verdade, o movimento se dava devido a pequenos, porém incessantes impactos aleatórios do pólen com moléculas de ar. Dente algumas aplicações para o movimento Browniano, destacamos o estudo de partículas microscópicas, a variação dos preços de ativos no mercado, o ruído térmico em circuitos elétricos e, até mesmo, variações e mutações genéticas. A definição formal é dada abaixo.

Definição 8.1: (Movimento Browniano Unidimensional padrão) 

Um movimento Browniano contínuo é um processo adaptado 0\leq t\textless \infty\} $, definido sobre $ (\Omega,\mathcal{A},P) $, com as seguintes propriedades:

  1. $ B_0=0 $ quase certamente, isto é, $ \mathbb{P}(B_0 = 0) = 1 $;
  2. Para qualquer $ 0\leq s \ \textless \ t  $, o incremento $ B_t-B_s $ tem distribuição normal com média zero e variância t-s, isto é, $ B_t - B_s\sim N(0,t-s) $ ou
    \[\mathbb{P}(a\leq B_t-B_s\leq b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\int_a^b\exp\left(-\frac{x^2}{2(t-s)}\right).\]

  3. $ B_t $ tem incrementos independentes, isto é, para quaisquer $ 0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ t_2 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_n $, as variáveis aleatórias
    \[B_{t_1}, B_{t_2}-B_{t_1},\ldots,B_{t_n}-B_{t_{n-1}}\]

     são independentes.

  4. As trajetórias de $ B_t $ são função contínuas quase certamente, isto é,
    \[\mathbb{P}(B_{\cdot}(\omega) \ \text{ser contínua}) = 1.\]

O movimento Browniano também é denominado de Processo de Wiener, já que foi Wiener quem formalizou suas propriedades no século XX. Diretamente da definição do movimento browniano, concluímos que $ \mathbb{E}(B_t)=0 $, $ ~Var(B_t)=t $$ Cov[B_t,B_s]=min(t,s) $.

Propriedades elementares do movimento Browniano

A partir das propriedades acima, podemos simular, de maneira bastante eficiente, trajetórias do movimento Browniano. A fim de simular estas trajetórias no intervalo $ [0,T] $, consideramos os instantes $ 0 = t_0 \ \textless \ t_1 \ \textless \ t_2 \ \textless \ \ldots \ \textless t_n = T $ de forma que $ \Delta t_j = t_j -t_{j-1} = h $. Então, podemos determinar o valor de $ B_{t_j} $ a partir do valor de $ B_{t_{j-1}} $ utilizando a propriedade de incrementos independentes da forma

\[B_{t_j} = B_{t_{j-1}} + (B_{t_j} - B_{t_{j-1}}) = B_{t_{j-1}} + \sqrt{h}Z_j \ \text{com} \ Z_j\sim N(0,1) \ \text{e com} \ B_0 = 0.\]

Portanto, conhecido o valor do movimento Browniano no instante $ t_{j-1} $, para encontrar o valor $ B_{t_j} $, basta simular um valor de uma distribuição normal padrão e utilizar a fórmula acima. Desta forma, o algoritmo para simulação de uma trajetória do movimento Browniano no instante $ [0,T] $ pode ser construído a partir dos passos abaixo.

  1. Definir o instante final $ T $ de simulação.
  2. Definir o número $ n $ de subintervalos do intervalo $ [0,T] $.
  3. O tamanho dos subintervalos é calculado da forma $ h = T/n $.
  4. No instante inicial, o movimento Browniano assume o valor zero, isto é, $ B_0 = 0 $
  5. Para cada $ j= 1,\ldots,n $, simulamos uma variável $ Z_j $ com distribuição normal padrão, isto é, $ Z_j\sim N(0,1) $. Então, o valor do movimento Browniano no instante $ t_j $ é dado por $ B_{t_j} = B_{t_{j-1}} + \sqrt{h}Z_j $.

Na figura a seguir, temos a simulação de 5 trajetórias do movimento Browniano no intervalo $ [0,1] $. Utilizamos $ 500 $ instantes para a partição do intervalo e, além disso, os subintervalos são igualmente espaçados com tamanho $ h = \frac{1}{500} $.

Na sequência, vamos utilizar o teorema central do limite (TCL) para apresentar uma ideia intuitiva do comportamento do movimento browniano. O TCL nos diz, que sob condições gerais, a soma de variáveis aleatórias independentes de impacto individual "pequeno" tem distribuição "aproximadamente" normal. Ao considerarmos tais somas como processos, podemos obter aproximações para o movimento browniano.

Como consequência do TCL, ao tomarmos ma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) $ \xi_1, \xi_2, \cdots $ com $ \mathbb{E}(\xi_n)=0 $ and $ Var(\xi_n)=1 $, obtemos que

$$\frac{X_n}{\sqrt{n}} \rightarrow \xi=N(0,1), \quad \text{quando} ~ n \rightarrow \infty,$$

no qual $ X_n=\xi_1, \cdots , \xi_n $ para todo $ n \geq 1 $.  

Para estendermos a sequência de variáveis aleatórias $ \{X_n\} $ para um processos estocástico  t \geq 0\} $ tomamos

$$X_t=X_{[t]}=X_k, \quad t \in [k,k+1), ~k\in \mathbb{N} \cup \{0\},$$

no qual $ [t] $ denota a parte inteira do número $ t $.  Como consequência do TCL,

$$X^n_t=\frac{X_{nt}}{\sqrt{n}} \rightarrow B_t \sim N(0,t).$$

Na realidade, temos que

$$\frac{X_{nt}}{\sqrt{n}}=\frac{X_{[nt]}}{\sqrt{[nt]}}\sqrt{\frac{[nt]}{n}}\rightarrow \xi \sqrt{n} \sim N(0,t), \quad \text{quando} ~n \rightarrow \infty,$$

no qual utilizamos o fato de que $ [nt]/n \rightarrow t $ quando $ n \rightarrow \infty $ para todo $ t \geq 0 $. Portanto, para todo $ t\geq 0 $ fixo, a sequência de variáveis aleatórias $ \{X^n_t\} $ converge em distribuição para a variável aleatória $ B_t \sim N(0,t) $. Entretanto, isto não significa que a sequência de processos estocásticos $ \{X_n\} $ converge, em algum sentido, para o movimento browniano. A construção do movimento browniano está na próxima seção.  A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares do movimento browniano.

Proposição 8.1:

Para um $ t_0 \geq 0 $ fixo, o processo estocástico $ \tilde{B}_t = B_{t+t_0} - B_{t_0} $ também é um movimento Browniano.

Demonstração: É imediato que $ \tilde{B}_0 = 0 $ quase certamente e que $ \tilde{B}_t $ tem trajetórias contínuas quase certamente, de forma que as condições (1) e (4) são satisfeitas. Agora, para qualquer $ s \ \textless \ t $, temos que

\[\tilde{B}_t - \tilde{B}_s = B_{t+t_0} - B_{s+t_0} = B_{t - s + s + t_0} - B_{s+t_0}\]

de onde concluímos que $ \tilde{B}_t - \tilde{B}_s $ tem distribuição normal com média $ 0 $ e variância $ t-s $, demonstrando a condição (2). Para verificar a condição (3), seja $ 0 \ \textless \ t_0 $. Então, para qualquer $ 0 \leq t_1 \ \textless \ t_2 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_n $, segue que $ 0 \ \textless \ t_0 \ \leq t_1 + t_0 \ \textless \ t_2+t_0 \ \textless \ \ldots \ \textless \ t_n+t_0 $. Portanto, da condição (3) de $ B_t $, $ \tilde{B}_{t_k} - \tilde{B}_{t_{k-1}} = B_{t_k+t_0} - B_{t_{k-1} + t_0}, \ k = 1, 2, \ldots, n $, são variáveis aleatórias independentes. Portanto, concluímos que $ \tilde{B}_t $ é um movimento Browniano.

Outra importante propriedade é que o movimento Browniano não é diferenciável em qualquer ponto quase certamente. De fato, se $ t \ \textgreater \ t_0 $, o incremento $ B_{t} - B_{t_0} $ é uma variável aleatória normal com média $ 0 $ e variância $ t-t_0 $. Portanto, temos que $ (B_{t}-B_{t_0})/(t-t_0) $ é uma variável aleatória normal com média $ 0 $ e variância $ t-t_0 $. Desta forma, quando $ t\rightarrow t_0 $, a variância desta variável aleatória vai para infinito.

Proposição 8.2: 

Para todo $ t_0 $, temos que

\[\limsup_{t\rightarrow t_0}\left|\frac{B_t-B_{t_0}}{t-t_0}\right|=\infty \ \text{q.c}\]

 o que implica que, para qualquer $ t_0 $, quase toda trajetória $ B_t $ não é diferenciável neste ponto.

Demonstração: Sem perda de generalidade, suponha que $ t_0 = 0 $ e considere o evento

\sup_{0 \textless t\leq h}\left|\frac{B_s(\omega)}{s}\right| \ \textgreater \ D\right\}.\]

Então, para qualquer sequência $ \{h_n\} $ decrescente e convergindo para $ 0 $, temos que

\[A(h_n)\supset A(h_{n+1}),\]

e

\[A(h_n) \supset \left\{\left|\frac{B_{h_n}}{h_n}\right| \ \textgreater \ D \right\}.\]

Portanto,

\[\mathbb{P}(A(h_n)) \geq \mathbb{P}\left(|B_{h_n}/\sqrt{h_n}| \ \textgreater \ D\sqrt{h_n}\right) = \mathbb{P}(|B_1| \ \textgreater \ D\sqrt{h_n}) \rightarrow 1, \ n\rightarrow \infty.\]

Então,

\[\mathbb{P}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A(h_n)\right) = \lim_{n\rightarrow\infty} \mathbb{P}(A(h_n)) = 1.\]

De onde segue que

\[\sup_{0 \textless s \leq h_n}\left|\frac{B_s}{s}\right| \geq D \ \text{q.c para todo} \ n \ \text{e} \ D \ \textgreater 0.\]

Portanto,

\[\lim_{h\rightarrow 0}\sup_{0 \textless s \leq h}\left|\frac{B_s}{s}\right| = \infty \ \text{q.c}.\]

Segue a proposição.

A proposição acima nos diz que, apesar do movimento browniano ter trajetórias contínuas, estas não apresentam derivada em qualquer ponto $ 0 \leq t \textless \infty $.

Proposição 8.3

Seja $ \pi_n  $ uma sequência de partições de $ [a, a+t] $. Suponha que $ \pi_m \subset \pi_n  $ para $ m \textless n $. Suponha também que o limite das partições vá para zero. Seja $ \pi_n B = \sum_{t_i \in \pi_n} (B_t_{i+1} - B_t_i )^2  $ então $ \lim_{n \to \infty} \pi_n B = t  $ em probabilidade.

Demonstração:

\[\pi_n B - t = \sum_{t_i \in \pi_n } [(B_t_{i+1} - B_t_i )^2 - (t_{i+1} - t_i )] = \sum_ i Y_i \]
Onde $ Y_i  $ são variáveis aleatórias independentes com média zero. Portanto 
\[ \mathbb{E} [(\pi_n B - t)^2 ] = \mathbb{E} [(\sum_i Y_i )^2 ] = \sum_i \mathbb{E} (Y_i )^2 \]
Como $ (B_t_{i+1} - B_t_i ) $ tem distribuição normal com média zero e variância $ t_{i+1} - t_i $, temos que
\[\frac{(B_t_{i+1} - B_t_i )^2 }{(t_{i+1} - t_i)} = Z^2 \]
tem distribuição qui-quadrado.
 

\[\mathbb{E} [(\pi_n B - t)^2]=\mathbb{E} [\sum (t_{i+1} - t_i )^2 (Z^2 -1)^2 ] = \]
\[ = \sum (t_{i+1} - t_i )^2 \mathbb{E}[(Z^2 - 1)^2 ] \leq \mathbb{E}[(Z^2 - 1)^2 ] \hbox{mesh} (\pi_n )t \to 0 \]

Denotamos por $ \mathcal{F}_t $ a $ \sigma $-álgebra s\leq t\} $ gerada por todas as variáveis aleatórias $ B_s, ~s\leq t $, e todos os conjuntos de probabilidade nula. Em outras palavras, $ \mathcal{F}_t $ é a menor $ \sigma $-álgebra para o qual todas as variáveis aleatórias ~s\leq t\} $ são mensráveis e contém todas os conjuntos de probabilidade nula. Portanto, a história do movimento browniano até o tempo $ t $ é dada pela classe de todas as variáveis aleatórias que são $ \mathcal{F}_t $ mensuráveis. A família de $ \sigma $-álgebras  t \geq 0\} $ é denominada filtragem interna associada ao movimento browniano. 

Na próxima seção, discutimos a questão de existência do movimento browniano.

 

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