9 - Processo de Lévy

Você está aqui

Os processos de Lévy são utilizados para modelar o ruído em diversos tipos de aplicações. Em finanças, diversos estudos empíricos nos mostram que os processos de Lévy descrevem de forma mais realística o mercado financeiro do que modelos baseados somente no movimento browniano.  No nundo "real", observamos que o preço de diversos ativos apresentam saltos. Além disso, a distribuição empírica de ativos financeiros apresentam assimetria e curtose alta e com isso, desviam da tradicional distribuição normal. Em função disso, os processos de Lévy são uma alternativa importante na modelagem de diversos problemas reais. Neste módulo, vamos estudar a classe dos processos de Lévy e apresentar diversas aplicações em finanças. 

Consideramos $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ uma base estocástica na qual $\mathcal{F}=\mathcal{F}_T$, a filtragem $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t:0\leq t \leq T\}$ satisfaz as condições usuais da teoria geral de processos estocásticos e $T$ é um constante positiva.  A seguir, apresentamos a definição dos processos de Lévy.

DEFINIÇÃO: Um processo estocástico $X:[0,T] \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ é denominado processo de Lévy se satisfaz as seguintes condições:

1) $X$ tem incrementos independentes, isto é, $X(t) - X(s)$ é independente de $\mathcal{F}_s$ para qualquer $0 \leq s\textless t \leq T$.

2) $X$ é contínuo em probabilidade, isto é, para todo $0 \leq t\leq T$ e $\epsilon\textgreater 0$, temos que $$\lim_{s \rightarrow t} \mathbb{P} (\mid X(t) - X(s) \mid \textgreater \epsilon)=0$$.

Como consequência da condição (1), para qualquer $0 \leq t_0 \textless t_1 \textless \cdots \textless t_n$ temos que $$X(t_0), X(t_1) - X(t_2), \cdots , X(t_n)-X(t_{n-1})$$ são variáveis aleatórias independentes. Esta propriedade de que incrementos de intervalos disjuntos são independentes é equivalente ao fato que o processo $X$ tem incrementos independentes com respeito a filtragem interna de $X$. A condição (2) não implica que o processo de Lévy tenha trajetórias contínuas. Por exemplo, o processo de Poisson satisfaz a condição (2). Esta condição serve para excluir os processos estocásticos com saltos em tempos determinísticos.

3) Dizemos que o processo $X$ tem incrementos estacionários se, para tod $0 \leq s \textless t \leq T$, a distribuição da variável aleatória $X(t)-X(s)$ depende somente de $t-s$.

Um processo $X$ com incrementos independentes é denominado homogêneo se este tem incrementos estacionários. De forma geral, vamos estudar processos de Lévy não homogênos. Os exemplos elementares de processos de Lévy são o processo de Poisson e o movimento browniano.

Processo Estocástico

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]