9 - Processo de Lévy

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Os processos de Lévy são utilizados para modelar o ruído em diversos tipos de aplicações. Em finanças, diversos estudos empíricos nos mostram que os processos de Lévy descrevem de forma mais realística o mercado financeiro do que modelos baseados somente no movimento browniano.  No nundo "real", observamos que o preço de diversos ativos apresentam saltos. Além disso, a distribuição empírica de ativos financeiros apresentam assimetria e curtose alta e com isso, desviam da tradicional distribuição normal. Em função disso, os processos de Lévy são uma alternativa importante na modelagem de diversos problemas reais. Neste módulo, vamos estudar a classe dos processos de Lévy e apresentar diversas aplicações em finanças. 

Consideramos $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P}) $ uma base estocástica na qual $ \mathcal{F}=\mathcal{F}_T $, a filtragem 0\leq t \leq T\} $ satisfaz as condições usuais da teoria geral de processos estocásticos e $ T $ é um constante positiva.  A seguir, apresentamos a definição dos processos de Lévy.

DEFINIÇÃO: Um processo estocástico [0,T] \times \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ é denominado processo de Lévy se satisfaz as seguintes condições:

1) $ X $ tem incrementos independentes, isto é, $ X(t) - X(s) $ é independente de $ \mathcal{F}_s $ para qualquer $ 0 \leq s\textless t \leq T $.

2) $ X $ é contínuo em probabilidade, isto é, para todo $ 0 \leq t\leq T $ e $ \epsilon\textgreater 0 $, temos que

$$\lim_{s \rightarrow t} \mathbb{P} (\mid X(t) - X(s) \mid \textgreater \epsilon)=0$$

.

Como consequência da condição (1), para qualquer $ 0 \leq t_0 \textless t_1 \textless \cdots \textless t_n $ temos que

$$X(t_0), X(t_1) - X(t_2), \cdots , X(t_n)-X(t_{n-1})$$

são variáveis aleatórias independentes. Esta propriedade de que incrementos de intervalos disjuntos são independentes é equivalente ao fato que o processo $ X $ tem incrementos independentes com respeito a filtragem interna de $ X $. A condição (2) não implica que o processo de Lévy tenha trajetórias contínuas. Por exemplo, o processo de Poisson satisfaz a condição (2). Esta condição serve para excluir os processos estocásticos com saltos em tempos determinísticos.

3) Dizemos que o processo $ X $ tem incrementos estacionários se, para tod $ 0 \leq s \textless t \leq T $, a distribuição da variável aleatória $ X(t)-X(s) $ depende somente de $ t-s $.

Um processo $ X $ com incrementos independentes é denominado homogêneo se este tem incrementos estacionários. De forma geral, vamos estudar processos de Lévy não homogênos. Os exemplos elementares de processos de Lévy são o processo de Poisson e o movimento browniano.

Processo Estocástico

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