2 - Processo Estocástico

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Considere $(\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{F}, \mathbb{P})$ uma base estocástica, no qual $(\Omega , \mathcal{F} , P)$ é um espaço de probabilidade e $\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t: t \geq 0\}$ uma filtragem.  Neste módulo, vamos introduzir o conceito de processo estocástico e suas principais propriedades.

Definição 2.1: 

Seja $(E, \mathcal{E})$ um espaço mensurável. Um processo estocástico definido sobre o espaço de probabilidade $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ com espaço de estados $(E, \mathcal{E})$ e conjunto de índices $T$ é uma transformação $X:T \times \Omega \rightarrow E$ tal que para todo $t \in T$ a transformação $X(t): \Omega \rightarrow E$ é $\mathcal{F}$-mensurável. Para todo $\omega \in \Omega$, a transformação $X(\cdot , \omega): T \rightarrow E$ que carrega $t$ em $X(t,\omega)$ é denominada trajetória de $X$.

Por exemplo, um processo estocástico na reta é uma família de variáveis aleatórias $\{X(t):t\geq 0\}$ definidas sobre $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$, no qual $t$ é um parâmetro linear ao longo de um conjunto de índices $T$. Na maioria dos casos, tomaremos $T \subset [0,\infty]$, por exemplo, no caso de processos à tempo discreto temos $T=\mathbb{N}$, no caso de processos à tempo contínuo temos $T=[0, M]$ no qual $M > 0$. Neste módulo usaremos $X(t)$ para representar os elementos da família de variáveis aleatórias que compõe o processo estocástico.

Muitas vezes podemos entender $t$ como sendo o tempo cronológico. Por exemplo, um processo estocástico pode representar uma determinada característica da população que medimos ao longo do tempo. De forma geral, denotaremos $t \geq 0$. Nas seções produto de espaços mensuráveis e probabilidade sobre o espaço produto,  estabelecemos uma estratégia para construirmos processos estocásticos com respeito a um conjunto de índices qualquer $T$.

Um processo estocástico $X$ com espaço de estados $E$ é denominado evanescente ou $\mathbb{P}$-nulo se $\mathbb{P} [\omega: \exists t \in T, ~X(t,\omega)\neq 0]=0$. Um subconjunto $A$ de $T \times \Omega$ é denominado evanescente se $1\!\!1_{A}$ é um processo evanescente. Dois processos $X$ e $Y$ com mesmo espaço de estados e conjunto de índices $T$ são denominados indistinguíveis ou $\mathbb{P}$-iguais se o conjunto $\{X \neq Y\}\subset T\times \Omega$ é evanescente. A seguir, apresentamos algumas definições de mensurabilidade relacionadas com processos estocásticos. 

Seja $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F},\mathbb{P})$ uma base estocástica e $X$ um processo estocástico com conjunto de índices $T$ e espaço de estados $(E,\mathcal{E})$.

Definição 2.2:

Um processo $X$ é adaptado a filtragem $\mathbb{F}$, se $X(t)$ é $\mathcal{F}_t$-mensurável para todo $t \in T$. Muitas vezes, dizemos que o processo $X$ é não antecipativo. O processo $X$ é denominado mensurável se a transformação $X:(T\times \Omega, \beta_T \times \mathcal{F}) \rightarrow (E,\mathcal{E})$ é mensurável no qual $\beta_T$ denota a $\sigma$-álgebra de Borel do conjunto de índices $T$.  

Na sequência, tomamos como conjunto de índices $T \subset [0, \infty]$. Um processo estocástico $X$ é dito progressivamente mensurável, se para todo $t\in T$ a transformação $X$ restrita a $([0,t] \cap T)\times \Omega$ é $\beta_{[0,t]} \times \mathcal{F}_t$-mensurável, no qual $\beta_{[0,t]}$ denota a $\sigma$-álgebra de Borel dos subconjuntos  de $[0,t]\cap T$.

Definição 2.3:

A filtragem interna de um processo é definida como sendo 

$$\mathcal{F}_t=\sigma(X_s:s\leq t),\quad t\geq 0.$$ Obviamente, que todo processo $X$ é adaptado e progressivamente mensurável com respeito a sua filtragem interna. 

Um subconjunto $A$ de $[0,\infty) \times \Omega$ é denominado adpatado (respectivamente, mensurável, progressivamente mensurável) se a função $1\!\!1_{A}$ for um processo  adaptado (respectivamente, mensurável, progressivamente mensurável). Além disso, segue diretamente da definição que os conjuntos adaptados (respectivamente, mensurável, progressivamente mensurável) denotados por $\mathcal{M}_0$ (rspectivamente, $\mathcal{M}$, $\mathcal{M}_1$) formam uma $\sigma$-álgebra. Com isso, obtemos que $X$ é adaptado (respectivamente, mensurável, progressivamente mensurável) se e só se, este for $\mathcal{M}_0$-mensurável (respectivamente, $\mathcal{M}$-mensurável, $\mathcal{M}_1$-mensurável.). Além disso, temos que $\mathcal{M}_1 \subset \mathcal{M}_0$.

Suponha que o espaço de estados $E$ seja um espaço topológico com $\mathcal{E}$ a $\sigma$-álgebra de Borel (gerada pelos abertos da topologia).  Um processo estocástico $X$ é denominado contínuo à direita (cad) se este possui trajetória contínuas à direita. Da forma análoga, o processo $X$ é contínuo à esquerda (cag) se este possui trajetórias contínuas à esquerda. Também, dizemos que o processo estocástico $X$ é contínuo se este tem trajetórias contínuas e dizemos $X$ é cadlag se possui trajetórias contínuas à direita e com limites à esquerda. 

Teorema 2.4 Todo Processo $X$ adaptado e cad (respectivamente, cag) é progressivamente mensurável.

Prova: Considere o processo estocástico $X$ em $[0,s] \times \Omega$. Para todo $n \geq 1$, definimos $$X^n_1(t, \omega)=\sum_{k=0}^{2^n-1} 1\!\!1_{[\frac{ks}{2^n},\frac{(k+1)s}{2^n})} (t) X(\frac{ks}{2^n}) (\omega),$$ e o processo estocástico $$X^n_2(t, \omega)=1\!\!1_{[0,\frac{s}{2^n}]}X(0, \omega)+ \sum_{k=1}^{2^n-1} 1\!\!1_{(\frac{ks}{2^n},\frac{(k+1)s}{2^n}]} (t) X(\frac{ks}{2^n}) (\omega).$$

Desde que $X$ é adaptado, os processo estocásticos $X^n_1$ e $X^n_2$ são $\beta_{[0,s]}\times \mathcal{F}_s$-mensurável em $[0,s] \times \Omega$. Se $X$ é cad (respectivamente, cag) a sequência $\{X^n_2:n \geq 1\}$ (respectivamente, $\{X^n_1:n \geq 1\}$) converge em $[0,s] \times \Omega$ para $X$. Portanto, obtemos que $X$ é progressivamente mensurável. Segue o teorema.

Considere $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ uma base estocástica. Dizemos que um subconjunto $O \subset [0, \infty) \times \Omega$ é opcional se este pertence a $\sigma$-álgebra $\mathcal{O}$ gerada pelos processos estocásticos cadlag à valores nos reais. Um processo estocástico $X$ a valores no espaço topológico $E$ é denominado opcional se este for $\mathcal{O}$-mensurável. Como consequência do teorema 2.4 temos que $\mathcal{O} \subset \mathcal{M}_1$.

A $\sigma$-álgebra $\mathcal{P}$ de subconjuntos de $[0, \infty) \times \Omega$ gerada pelos processos adaptados e contínuos à valores reais é denominada previsível. Um processo estocástico $X$ a valores no espaço topológico $E$ é denominado previsível se este for $\mathcal{P}$-mensurável.

Teorema 2.5: 

(1) A seguinte inclusão é válida: $\mathcal{P} \subset \mathcal{O}$.
(2) A $\sigma$-álgebra $\mathcal{P}$ é gerada pelos processos adaptados e cag e pelas seguintes classes de conjuntos:

$$\mathcal{R}=\left\{ (s,t] \times F: s \leq t,~F \in \mathcal{F}_s \right\} \cup \{{0}\times F, ~F\in \mathcal{F}_0\},$$ $$\mathcal{R}_1=\left\{ (s,t] \times F: s \leq t,~F \in \mathcal{F}_{s^-} \right\} \cup \{{0}\times F, ~F\in \mathcal{F}_0\},$$ $$\mathcal{R}_2=\left\{ [s,t) \times F: s \leq t,~F \in \mathcal{F}_{s^-} \right\},$$ no qual tomamos $\mathcal{F}_{0^-}=\mathcal{F}_{0}$.

Prova: Como $\mathcal{P}$ é a $\sigma$-álgebra gerada pelos processos contínuos concluímos que facilmente que $\mathcal{P} \subset \mathcal{O}$. Da mesma forma, temos que $\mathcal{P} \subset \mathcal{P}^\prime$, no qual $\mathcal{P}^\prime$ corresponde a $\sigma$-álgebra gerada pelos processos adaptados e cag. 

Para todo $R \in \mathcal{R}$, a função indicadora $1\!\!1_{R}$ é um processo estocástico cag com limites à direita. Portanto, obtemos que $\sigma(\mathcal{R}) \subset \mathcal{P}^\prime$. Para mostrarmos a inclusão contrária é suficiente provarmos que todo processo cag adaptado e limitado $X$ pode ser aproximado na forma $$\sum_{i \in I} c_i 1\!\!1_{ \{ (s_i , t_i] \times F_i\} },$$ nos quais $(s_i , t_i] \times F_i \in \mathcal{R}$, e $c_i \in \mathbb{R}$ e $I$ é um conjunto enumerável.

Sabemos que para todo $n \geq 1$ e $k \in \mathbb{N}$, $X(\frac{k}{2^n})$ é $\mathcal{F}_{k/2^n}$-mensurável. Na seção sobre esperança de variáveis aleatórias provamos que qualquer variável aleatória pode ser aproximada por funções simples. Assim, podemos escolher $c^i_{n,k} \in \mathbb{R}$ e $F^i_{n,k} \in \mathcal{F}_{k/2^n}$ tal que $$\sup_{\omega \in \Omega} \left| X\left(\frac{k}{2^n}, \omega \right) - \sum_{i \in I} c^i_{n,k} 1\!\!1_{ \{ F^i_{n,k}\} } \right| \leq \frac{1}{2^n}.$$ Portanto, a sequência de processos estocásticos $\{X^n: n \geq 1\}$ definidos por $$X^n (t , \omega) = X(0)1\!\!1_{ \{0\}}+ \sum_{k=0}^\infty \sum_{i=1}^\infty c^i_{n,k} 1\!\!1_{ \{(\frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n}] \times F^i_{n,k}\} }(t, \omega)$$ converge de forma pontual para $X$ sobre $[0, \infty )\times \Omega$. Com isso, obtemos que $\mathcal{P}^\prime \subset \sigma(\mathcal{R})$ e $\mathcal{P} \subset \sigma(\mathcal{R})$.

Para provarmos a igualdade entre $\mathcal{P}$, $\sigma(\mathcal{R})$ e $\mathcal{P}^\prime$ é suficiente mostrarmos $\sigma(\mathcal{R}) \subset \mathcal{P}$. Para isto, tomamos $(s,t] \times F \in \mathcal{R}$. Então, existe uma sequência $\{\varphi_n\}$ de funções contínuas a valores positivos tal que $$1\!\!1_{ \{ (s,t]\}} = \lim_n \varphi_n, \quad \mbox{e} \quad \varphi_n(u)=0,$$ para todo $u \in (0,s]$. Os processos estocásticos $1\!\!1_{ \{F\}} \varphi_n$ com $n\geq 1$, são adaptados e contínuos. Desde que, $$1\!\!1_{ \{ (s,t] \times F\}} = \lim_n 1\!\!1_{ \{ F\}} \varphi_n ,$$ concluímos que o processo $1\!\!1_{ \{ (s,t] \times F\}}$ é $\mathcal{P}$-mensurável e portanto, obtemos que $\sigma(\mathcal{R}) \subset \mathcal{P}$.

Na sequência, vamos mostrar que $\sigma(\mathcal{R})=\sigma(\mathcal{R}_1)=\sigma(\mathcal{R}_2)$. Por construção, sabemos que $\mathcal{R}_1$ gera a mesma $\sigma$-álgebra que a seguinte classe de conjuntos $$\mathcal{R}_{1}^\prime=\left\{(s,t]\times F: s \leq t, F \in \cap_{r < s} \mathcal{F}_r \right\} \cup \{\{0\} \times F, F \in \mathcal{F}_0\}.$$ Da mesma forma, temos que a $\mathcal{R}_2$ gera a mesma $\sigma$-álgebra que a seguinte classe de conjuntos $$\mathcal{R}_{1}^\prime=\left\{[s,t) \times F: s \leq t, F \in \cap_{r < s} \mathcal{F}_r \right\} \cup \{\{0\} \times F, F \in \mathcal{F}_0\}.$$

Desde que $$1\!\!1_{ \{ (s,t] \times F\}} = \lim_n 1\!\!1_{ \{ [s+\frac{1}{n},t+ \frac{1}{n}) \times F\}},$$ a inclusão $\sigma(\mathcal{R}_1) \subset \sigma(\mathcal{R}_2)$ é imediata. Por outro lado, temos que $$1\!\!1_{ \{ [s,t) \times F\}} = \lim_n 1\!\!1_{ \{ (s-\frac{1}{n},t- \frac{1}{n}] \times F\}}.$$ Como consequência, obtemos que $$\sigma(\mathcal{R}_1) \subset \sigma(\mathcal{R}_2)=\sigma(\mathcal{R}_2^\prime)\subset \sigma(\mathcal{R}_1^\prime)=\sigma(\mathcal{R}_1).$$

Obtemos diretamente da definição $\sigma(\mathcal{R}_1) \subset \sigma(\mathcal{R})$. Por outro lado, sabemos que $$1\!\!1_{ \{ (s,t] \times F\}} = \lim_n 1\!\!1_{ \{ [s+\frac{1}{n},t+ \frac{1}{n}) \times F\}},$$ o que nos leva a concluir que $\sigma(\mathcal{R}) \subset \sigma(\mathcal{R}_1)$. Assim, provamos o teorema.

Este resultado nos revela propriedades básicas da $\sigma$ álgebra previsível.  O conjunto de retângulos previsíveis $\mathcal{R}$ é uma semiálgebra . Portanto, a álgebra gerada por $\mathcal{R}$ é formada por união finita disjunta de elementos de $\mathcal{R}$. Além disso, segue do teorema 2.5 que a $\sigma$-álgebra previsível é a mesma para as filtragens $\{\mathcal{F}_t\}$, $\{\mathcal{F}_{t^-}\}$ e $\{\mathcal{F}_{t^+}\}$.

Considere $S$ e $T$ dois tempos de parada com respeito a base estocástica $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{F}, \mathbb{P})$ com $S \leq T$. Os intervalos estocásticos são definidos por

$$(S,T]=\{(t,\omega):S(\omega)< t\leq T(\omega),t\geq 0, \omega \in \Omega\},$$ $$[S,T]=\{(t,\omega):S(\omega) \leq t\leq T(\omega),t\geq 0, \omega \in \Omega\},$$ $$[S,T)=\{(t,\omega):S(\omega) \leq t< T(\omega),t\geq 0, \omega \in \Omega\}$$ e $$(S,T)=\{(t,\omega):S(\omega) < t< T(\omega),t\geq 0, \omega \in \Omega\}.$$

Também denotamos por: $$[T]=\{(t,\omega): t=T(\omega)< \infty , t \geq 0, \omega \in \Omega\},$$ o gráfico do tempo de parada $T$. 

Lema 2.6:

Uma função $T:\Omega \rightarrow [0, \infty]$ é um tempo de parada com respeito da filtragem $\mathbb{F}= \{\mathcal{F}_t\}$ se, e só se, o processo $1\!\!1_{\{[0,T)\}}$ for opcional.

Prova: Desde que o processo  $1\!\!1_{\{[0,T)\}}$ é contínuo à direita (cad), concluímos que este é opcional se, e só se, ele for $\mathbb{F}$-adaptado. Por definição, o processo $1\!\!1_{\{[0,T)\}}$ é $\mathbb{F}$-adaptado se, e só se, $T$ é um tempo de parada. Segue o lema.

Lema 2.7: 

Todo tempo de parada com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_t\}$ também é um tempo de parada com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_{t^+}\}$. Além disso, $T$ é um tempo de parada com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_{t^+}\}$ se, e só se, o processo $1\!\!1_{\{[0,T]\}}$ é previsível.

Prova: A primeira parte do Lema é consequência da inclusão $\mathcal{F}_t \subset \mathcal{F}_{t^+}$. Por definição, as seguinte propriedades são equivalentes:

(a) $\{T \leq t\} = \cap_{n} \{ T < t + \frac{1}{n}\} \in \mathcal{F}_{t^+}$ para todo $t \geq 0$;

(b) $\{T < t\} \in \mathcal{F}_{t}$ para todo $t \geq 0$.

A propriedade (b) é equivalente ao processo $1\!\!1_{\{[0,T]\}}$ ser adaptado, na realidade $$\left\{ 1\!\!1_{\{[0,T]\}} (t) =1\right\} = \{ T \geq t\} \in \mathcal{F}_t, \quad t \geq 0.$$ Desde que $1\!\!1_{\{[0,T]\}}$ é cag, concluímos que ele é previsível. Segue o lema.

Seja $T$ um tempo de parada com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_{t^+}\}$, então segue do lema 2.7 que o processo $1\!\!1_{\{[0,T]\}}$ é previsível, ou equivalentemente, que $\{T < t\} \in \mathcal{F}_{t}$ para todo $t \geq 0$.

Lema 2.8:

Seja $X$ um processo estocástico progressivamente mensurável com valores no espaço topológico $E$ equipado com a $\sigma$-álgebra de Borel $\mathcal{E}$. Então para todo tempo de parada $T$, a função $X(T) 1\!\!1_{ \{ T < \infty\}}$ é $\mathcal{F}_T$-mensurável.

Prova: Por propriedade de tempos de parada, sabemos que para todo $t \geq 0$, a variável aleatória $T \wedge t$ é $\mathcal{F}_t$-mensurável. Desta forma, a composição $X(T \wedge t)$ também é $\mathcal{F}_t$-mensurável. Seja $A \in \mathcal{E}$, para cada $t \geq 0$, temos que $$\{X(T) 1\!\!1_{ \{ T < \infty\}} \in A\} \cap \{T \leq t\} = \{X(T \wedge t) \in A\} \cap \{T \leq t\} \in \mathcal{F}_t.$$

Desde que $X(T) 1\!\!1_{ \{ T < \infty\}} = \lim _n X(T \wedge n) 1\!\!1_{ \{ T < n\}}$, concluímos que $X(T) 1\!\!1_{ \{ T < \infty\}}$ é $\mathcal{F}_{\infty}$-mensurável. Como consequência da definição da $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_T$, obtemos que $\{X(T) 1\!\!1_{ \{ T < \infty\}} \in A \} \in \mathcal{F}_T$ e, portanto, segue o resultado.

Com os resultados acima, concluímos que qualquer processo opcional ou previsível também é adaptado. Se $X$ é um processo estocástico cadlag e adaptado, então o limite à esquerda $X_{-}=\{X(t^-): t \geq 0\}$ é previsível. O limite a esquerda é definido por $X(t^-) = \lim_n X(t-1/n)$.

Teorema 2.9:

Sejam $S$ e $T$ dois tempos de parada com $S \leq T$. Então, os intervalos estocásticos $[S,T]$, $[S,T)$, $(S,T)$, $(S,T]$ e os gráficos de $S$ e $T$ são conjuntos opcionais. Além disso, se $\xi$ é uma variável aleatória $\mathcal{F}_S$-mensurável, então o processo estocástico $X=\xi 1\!\!1_{ \{[S,T)\}}$ é opcional. Da mesma forma, temos que o conjunto $(S,T]$ é previsível e o processo estocástico $X=\xi 1\!\!1_{ \{(S,T]\}}$ também é previsível com $\xi$ uma variável aleatória $\mathcal{F}_{S^+}$-mensurável.

Prova: Por construção, temos que $1\!\!1_{ \{[S,T)\}}$ é cadlag e adaptado. Assim, concluímos que $[S,T)$ é opcional. Tomamos $T_n = S + \frac{1}{n}$. Com isso, obtemos que $[S]= \cap_n [S,T_n]$ também é opcional. Da mesma forma, temos que o gráfico de $T$ também é opcional. Portanto, os intervalos estocásticos $[S,T]$, $(S,T)$ e $(S,T]$ também são opcionais. Por construção, temos que $X(t)=\xi 1\!\!1_{ \{S \leq t\}} 1\!\!1_{ \{t < T\}}$  é $\mathcal{F}_t$-mensurável. Como consequência, temos que $X=\xi 1\!\!1_{ \{[S,T)\}}$ é adaptado e cadlag. Portanto, temos que $X$ é opcional. 

Desde que $1\!\!1_{ \{(S,T]\}}$ é cag e adaptado, concluímos que o intervalo estocástico $(S,T]$ é previsível. Por definição, para todo $t > 0$, a variável aleatória $X(t)=\xi 1\!\!1_{ \{S < t\}} 1\!\!1_{ \{t \leq T\}}$  é $\mathcal{F}_{t^-}$-mensurável, com $X(0)=0$. Como consequência, o processo estocástico $X=\xi 1\!\!1_{ \{(S,T]\}}$ é cag e adaptado e, segue o teorema.

No teorema 2.5 apresentamos diversas classes de conjuntos que geram a $\sigma$-previsível. A seguir, apresentamos propriedades similares para a $\sigma$-álgebra opcional. 

Teorema 2.10: 

Ao denotarmos por $\mathcal{T}$ a classe de todos os tempos de parada, obtemos que $$\mathcal{O}=\sigma \{[S, \infty): S \in \mathcal{T}\}.$$

Prova: Denotamos por $\mathcal{C}=\{[S, \infty): S \in \mathcal{T}\}$. Desde que $\mathcal{C} \subset \mathcal{O}$, concluímos que $\sigma (\mathcal{C}) \subset \mathcal{O}$. Na sequência, vamos mostrar que $ \mathcal{O} \subset \sigma (\mathcal{C})$.

Seja $X$ um processo cadlag e adaptado. Vamos mostrar que $X$ é $\sigma(\mathcal{C})$-mensurável. Para todo $\epsilon > 0$, tomamos $T^\epsilon_0=0$. Por indução, definimos uma sequência $\{T^\epsilon_n: n \geq 1\}$ satisfazendo $$T^\epsilon_{n+1} (\omega)= \inf \{t > T^\epsilon_n (\omega) : \mid X(T^\epsilon_n (\omega), \omega) - X(t , \omega) \mid \geq \epsilon ~ ~ \text{ou} ~ ~ \mid X(T^\epsilon_n (\omega), \omega) - X(t^- , \omega) \mid \geq \epsilon \}.$$

Vamos mostrar por indução que $T^\epsilon_n$ são tempos de parada para todo $n \geq 1$.  Como o conjunto $$\{t >T^\epsilon_n (\omega) : \mid X(T^\epsilon_n (\omega), \omega) - X(t , \omega) \mid \geq \epsilon ~ ~ \text{ou} ~ ~ \mid X(T^\epsilon_n (\omega), \omega) - X(t^- , \omega) \mid \geq \epsilon \}$$ é fechado por limite à direita, para todo $r \in [0, \infty)$ temos que $$\{T^\epsilon_{n+1}=r\}=\{T^\epsilon_{n} < r\}\cap \left(\{ \mid X(T^\epsilon_n ) - X(r ) \mid \geq \epsilon\} \cup (\{ \mid X(T^\epsilon_n ) - X(r^-) \mid \geq \epsilon\}\right) \subset \{T^\epsilon_{n+1} \leq r\}.$$ Além disso, temos que $$\cup_{r \leq t} \{T^\epsilon_{n+1}=r\}=\cup_{r \leq t} \{T^\epsilon_{n+1} \leq r\}=\{T^\epsilon_{n+1} \leq t \}.$$ Somando os dois resultados acima, obtemos que $$\{T^\epsilon_{n+1} \leq t \}= \cup_{r \leq t} \left( \{T^\epsilon_{n} < r\} \cap \{ \mid X(T^\epsilon_n ) - X(r ) \mid \geq \epsilon\} \cup \{ \mid X(T^\epsilon_n ) - X(r^-) \mid \geq \epsilon\}\right)=$$ $$\cap_{m=1}^\infty \cup_{r \in \mathbb{Q}_t} \left( \{T^\epsilon_{n} < r\} \cap \left\{ \mid X(T^\epsilon_n ) - X(r ) \mid \geq \epsilon \left(1-\frac{1}{m} \right) \right\} \right),$$ no qual $\mathbb{Q}_t = \left( \mathbb{Q} \cap [0,t] \right) \cup \{t\}$.  Por indução assumimos que $T^\epsilon_n$ é um tempo de parada. Como consequência da igualdade acima, concluímos que $\{T^\epsilon_{n+1} \leq t \} \in \mathcal{F}_t$ e portanto, temos que $T^\epsilon_{n+1}$ também é um tempo de parada.

Por construção, sabemos que $\{T^\epsilon_{n} : n \geq 1\}$ é crescente. Quando $T^\epsilon_{n+1} < \infty$, temos que $T^\epsilon_{n+1} >T^\epsilon_{n}$ e $\left\{ \mid X(T^\epsilon_{n+1} ) - X(T^\epsilon_n) \mid \geq \epsilon \right\}$ ou $\left\{ \mid X(T^{\epsilon, -}_{n+1} ) - X(T^\epsilon_n) \mid \geq \epsilon \right\}$. Desde que $X$ tem limite à esquerda em $(0, \infty)$, obtemos que a sequência $\{T^\epsilon_{n} : n \geq 1\}$ não tem ponto de acumulação. Como consequência, temos que $T^\epsilon_{n} \uparrow \infty$. Tomamos, $$X^\epsilon (t) = \sum_{n=0}^\infty X(T^\epsilon_{n}) 1\!\!1_{ \{ T^\epsilon_{n} \leq t < T^\epsilon_{n+1}\}}.$$

Para todo $t \in [T^\epsilon_{n} (\omega) , T^\epsilon_{n+1} (\omega))$, sabemos que $\mid X(T^\epsilon_{n} ) - X(t) \mid < \epsilon$.  Portanto, para todo $(t, \omega) \in [0, \infty) \times \Omega$, temos que $\mid X^\epsilon(t, \omega ) - X(t, \omega) \mid < \epsilon$. Como consequência, temos que $$\lim_{ \epsilon \downarrow 0} X^\epsilon (t, \omega) = X(t, \omega).$$ Podemos mostrar que $X(T^\epsilon_{n}) 1\!\!1_{ \{ T^\epsilon_{n} \leq t < T^\epsilon_{n+1}\}}$ é $\sigma(\mathcal{C})$-mensurável, basta aproximarmos $X(T^\epsilon_{n})$ por função simples. Portanto, para todo $\epsilon > 0$, obtemos que $X^\epsilon$ é $\sigma(\mathcal{C})$-mensurável e segue o resultado.

A seguir, estabelecemos uma construção da $\sigma$-álgebraprevisível por intervalos estocástico.

Teorema 2.11:  

Considere $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ uma base estocástica. Ao denotarmos por $\mathcal{T}$ a classe de todos os tempos de parada, obtemos que $$\mathcal{P}=\sigma \{[0, S]: S \in \mathcal{T}\} = \sigma\{]S,T] ~ ~ \text{e} ~ ~ \{0\} \times F, ~ F \in \mathcal{F}_0\}.$$

Prova: Denotamos por $\mathcal{P}^\prime = \sigma \{[0, S]: S \in \mathcal{T}\}$  a $\sigma$-álgebra gerada pelos intervalos estocásticos. Como consequência do Lema 2.7 concluímos que $1\!\!1_{[0,S]}$ é um processo previsível. Portanto, temos que $\mathcal{P}^\prime \subset \mathcal{P}$.

Por outro lado, temos que $A \times (s,t] = (s_A , t_A]$ nos quais $s_A = s 1\!\!1_{A} + \infty 1\!\!1_{A^c}$ e $t_A$ definido de forma análoga são tempos de parada. Desde que o intervalo estocástico $(s_A , t_A] = [0,t_A] - [0, s_A] \in \mathcal{P}^\prime$, obtemos do Teorema 2.5 que $\mathcal{P} \subset \mathcal{P}^\prime$.

Denotamos por $\mathcal{P}^{\prime \prime} = \sigma \{]S,T] ~ ~ \text{e} ~ ~ \{0\} \times F, ~ F \in \mathcal{F}_0\}.$ Como consequência teorema 2.9, obtemos que $]S,T]$ é previsível e como consequência do teorema 2.5 o conjunto aleatório $\{0\} \times F$ também é previsível. Assim, concluímos que $\mathcal{P}^{\prime \prime} \subset \mathcal{P}.$ Por outro lado, para todo $F \in \mathcal{F}_s$ e $s \leq t$, a variável aleatória $S=s1\!\!1_{ \{ F \}} + \infty 1\!\!1_{ \{ F^c \}}$ é um tempo de parada. Por construção, temos que $$1\!\!1_{ \{ (s,t] \times F \}} = 1\!\!1_{ \{ ]S,t]\}}.$$ Segue o teorema.

Com este resultado podemos mostrar que o gráfico $[T]$ de um tempo de parada $T$ é opcional.

Corolário 2.12: Seja $T$ um tempo de parada com respeito a filtragem $\{\mathcal{F}_{t}\}$. Então, o gráfico $[T]$ é um subconjunto opcional de $[0, \infty) \times \Omega$.

Prova: Facilmente pode checar que a variável aleatória $$T_n = \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{2^n} 1\!\!1_{ \{ [\frac{k}{2^n} \leq T < \frac{k+1}{2^n}] \}}$$ é um tempo de parada para cada $n \geq 1$. Desde que, $$[T] = \cap_{n} [T , T_n[ = \cap_n \left( [0,T_n[ - [0,T[ \right) $$ a opcionalidade do gráfico de $T$ segue do lema 2.6.

Dado $X$ um processo estocástico cadlag, denotamos por $X^-$ a versão contínua à esquerda de $X$ definida por $X^-(t) = \lim_{n \rightarrow \infty} X \left(t-\frac{1}{n} \right)= X(t^-)$. O salto de $X$ é dado por $\Delta X(t) = X(t) - X^-(t)$. Então, o processo $X^{-}$ é previsível. Além disso, se $X$ for previsível, então $\Delta X$ também é previsível.

Definição 2.12:

Um conjunto estocástico $B$ é denominado magro se, $$B = \bigcup_{n=1}^\infty [T_n],$$ no qual $\{T_n : n \geq 1\}$ é uma sequência de tempos de parada.

Lema 2.13: 

Se o conjunto estocástico $B$ é progressivamente mensurável $(B \in \mathcal{M}_1)$ e $B$ está contido em um conjunto magro, então $B$ também é um conjunto magro.

Prova: Seja $B \subset \cup_{n} [T_n]$ com $\{T_n : n \geq 1\}$ é uma sequência de tempos de parada. Tomamos, $$I_n = \{ \omega : (\omega , T_n(\omega)) \in B \}.$$ Por construção, obtemos que $1\!\!1_{ \{ I_n\} } = 1\!\!1_{ \{ B\} } (T_n).$ Como consequência do lema 2.8, concluímos que $I_n \in \mathcal{F}_{T_n}.$ Desta forma, temos que $$(T_n)_{I_n} = T_n 1\!\!1_{ \{ I_n\} } + \infty 1\!\!1_{ \{ I_n^c\} }$$ é um tempo de parada. Por construção, temos $$B = \bigcup_{n=1}^\infty \left[ (T_n)_{I_n} \right].$$ Segue o resultado.

Teorema 2.12:

Considere $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ uma base estocástica com filtragem contínua à direita. Seja $X$  um processo previsível e $T$ um tempo de parada:

a) a variável aleatória $X(T) 1\!\!1_{ \{T < \infty \} }$ é $\mathcal{F}_{T^-}$-mensurável;

b) o processo parado $X^T=\{X(t \wedge T): t\geq 0\}$ também é previsível.

Prova: 

Construção de Processo Estocástico

Dados $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, $T$ um conjunto de índices qualquer e  $X_t : \Omega \rightarrow \Bbb{R}$ uma variável aleatória para todo $t \in T$. Sejam $t_1 , \cdots, t_n$ elementos de $T$ e $x_1, \cdots , x_n$ elementos em $\Bbb{R}$ ou $+ \infty, - \infty$. Definimos a função de distribuição $n$-dimensional de $(X_{t_1}, \cdots,X_{t_n})$, por $$F_{t_1, \cdots, t_n} (x_1, \cdots, x_n)=\mathbb{P}\left[ \cap_{i=1}^{n} \left\{\omega\in \Omega:X_{t_1}(\omega) \leq x_i \right\} \right].$$
Quando $n \in \mathbb{N}$ e os pontos $t_i$'s em $T$ variam, obtemos uma família de distribuições $n$-dimensionais $\{ F_{t_1, \cdots t_n}:t_i \in T , n \in \mathbb{N} \}$.

Definição 2.6

Desde que $\{\omega: X_t (\omega)<\infty \}=\Omega$ para todo $t \in T$, temos $$F_{t_1, \cdots, t_n} (x_1, \cdots, x_{n-1}, \infty) ~ = ~ F_{t_1, \cdots,t_{n-1}} (x_1, \cdots,x_{n-1})$$ e $$F_{t_{i_1},\cdots,t_{i_n}} (x_{i_1},\cdots,x_{i_n})=F_{t_1,\cdots,t_n} (x_1,\cdots,x_n),$$ no qual $(i_1,\cdots,i_n)$ é qualquer permutação de $(1,\cdots,n)$. Estas relações são denominadas condições de compatibilidade de Kolmogorov da família $\{F_{t_1,\cdots t_n}:t_i \in T,n \in \mathbb{N} \}$.

Portanto, qualquer família de variáveis aleatórias $\{X_t:t \in T\}$ sobre um espaço de probabilidade determina uma classe compatível de funções de distribuição finito dimensionais. Entretanto, existe um problema básico que é a existência do espaço de probabilidade $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ suportando a família de variáveis aleatórias. Um resultado fundamental de Kolmogorov nos diz que uma família compatível de distribuições finito dimensionais nos produz um espaço de probabilidade e uma coleção de variáveis aleatórias sobre este tal que suas distribuições finito dimensionais são iguais a classe compatível de distribuições. Entretanto, extensões do teorema de Kolmogorov para espaços mais gerais do que a reta $(X_{t}(\omega)\in \mathbb{R})$ não necessariamente são válido [Halmos (1950), pg. 150, ex. 3]. Na seção produto de espaços mensuráveis, vamos construir uma $\sigma$-álgebra no espaço produto. Com isso, na seção probabilidade sobre o espaço produto, construímos uma probabilidade sobre o espaço produto que suporta a coleção de variáveis aleatórias $\{X_t:t\geq 0\}$.
 

Processo Estocástico

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