1.2 - Processos Estocásticos

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Definição 1.2.1:

Seja $ T $ um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma família $ Z = \{Z(t), t \in T\} $, tal que, para cada $ t \in T $, Z(t) é uma variável aleatória.

Nestas condições, um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias, que supomos definidas num mesmo espaço de probabilidades (Ω, A, P). O conjunto $ T $ é normalmente tomado como o conjunto dos inteiros $ Z $ = {±1, ±2, ±3,...}.

Para dizermos que um processo estocástico está especificado necessitamos de certas condições. Sejam $ t_1 $, $ t_2 $,..., $ t_n $ elementos quaisquer de $ T $ e consideremos

$$F(z_1, \dots,z_n;t_1, \dots ,t_n) = P[Z(t_1) \le z_1, \dots ,Z(t_n) \le z_n]$$

 

Então, o processo estocástico $ Z = \{Z(t), t \in T\} $ estará especificado se conhecermos as distribuições finito-dimensionais, para todo n ≥ 1. As funções de distribuição devem satisfazer as duas condições seguintes:

  • (Condição de Simetria) para qualquer $ j_1 $,...,$ j_n $, dos índices 1,2,...,n temos:

$$F(z_{j_n}, \dots ,z_{j_1};t_1, \dots ,t_n) = F(z_1, \dots ,z_n;t_1, \dots ,t_n)$$

  • (Condição de Compatibilidade) para m < n,

$$F(z_1, \dots ,z_m,+ \infty , \dots ,- \infty ;t_1, \dots ,t_m,t_{m+1}, \dots ,t_n) = F(z_1, \dots ,z_m;t_1, \dots ,t_m)$$

Exemplo 1.2.1:

Consideramos {$ X_n $, n = 1,2,...} uma sequência de v.a. definidas no mesmo espaço amostral Ω. Aqui, $ T $ = {1,2,...} e temos um processo com parâmetro discreto, ou uma sequência aleatória. Para todo n ≥ 1, podemos escrever

$$P[X_1 = a_1, \dots , X_n = a_n] = P[{X_1 = a_1]P[X_2 = a_2|X_1 = a_1] \times \dots \times$$

 

$$P[X_n = a_n|X_1 = a_1, \dots, X_{n-1} = a_{n-1}].$$

Aqui, os $ a_j $'s representam os estados do processo e o espaço dos estados pode ser tomado como o conjunto dos reais. O caso mais simples é aquele em que temos uma sequência {$ X_n $, n ≥ 1} de v.a. mutuamente independentes e neste caso temos

$$P[X_1 = a_1, \dots , X_n = a_n] = P[X_1 = a_1] \dots P[X_n = a_n].$$

Este exemplo é conhecido como Sequência Aleatória.

Exemplo 1.2.2:

Considere uma sequência aleatória $ {\varepsilon_t \ge 1} $ com v.a. i.i.d. $ (\mu_{\varepsilon} , \sigma^2_{\varepsilon}) $. Defina a sequência

$$X_t = \varepsilon_1 + \dots + \varepsilon_t.$$

 

Segue-se que $ E(X_t) = t\mu_{\varepsilon} $ e $ Var(X_t) = t\sigma_{\varepsilon} $, ou seja, ambas dependem de t. 

Esse exemplo é conhecido como Passeio Aleatório, e têm grande importância em econometria e finanças.

 

 

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