1.4.2 - Teste de Phillips - Perron

O teste de Phillips - Perron, conhecido na literatura como teste PP é uma generalização do teste de Dickley - Fuller para os casos em que os erros $ \{\varepsilon_t\}_{t \in \mathbb{Z}} $ são correlacionados e, possivelmente, heterocedásticos. Então, vamos estudar a seguinte regressão

$$\Delta y_t = \beta_1 + \beta_2t + \delta y_{t-1} + \sum^m_{i=1}\alpha_i \Delta y_{t-i} + \varepsilon_t$$

Neste caso, a estatística $ Z $ é calculada por

$$Z = n \hat{\delta}_n - \dfrac{n^2\hat{\sigma}^2}{2s^2_n}\Bigg( \hat{\lambda}^2_n - \hat{\gamma}_{0,n} \Bigg)$$

onde

$$\hat{\gamma}_{j,n} = \dfrac{1}{n} \sum^n_{i=1+j} r_ir_{i-j}$$

$$\hat{\lambda}^2_n = \hat{\gamma}_{0,n} + 2\sum^q_{j = 1}\Bigg(1 - \dfrac{j}{q+1}\Bigg) \hat{\gamma}_{j,n}$$

$$s^2_n = \dfrac{1}{n-k} \sum^n_{i = 1} r_i^2$$

em que $ r_i $ representa o resíduo em $ y_i $ utilizando estimadores de mínimos quadrados, k é o número de covariáveis na regressão e, q é o número de defasagens utilizadas para calcular $ \hat{\lambda}^2_n $.

Note que $ Z $ trata-se de um ajuste na estatística de Dickley - Fuller. Caso o processo seja não correlacionado temos covariâncias nulas e neste caso, $ \hat{\lambda}^2_n = \hat{\gamma}_{0,n} $. Se o processo não for heterocedástico temos que $ se(\delta) = 1/n $ e então $ Z $ é dada por

$$Z = n\hat{\delta}= \dfrac{\hat{\delta}}{se(\hat{\delta})}$$

isto é, $ Z $ é a estatística de Dickley - Fuller e portanto, tem a mesma distribuição da estatística do teste ADF, calculada por Dickley - Fuller através de simulação de Monte Carlo.

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