1.4.3 - Teste KPSS

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Teste criado por Denis Kwiatkowski , Peter C. B. Phillips, Peter Schmidt e Yongcheol Shin, denominado teste KPSS devido a seus nomes, tem por finalidade determinar estacionariedade em uma série temporal. 

As hipóteses do teste são

$ H_0 = $ "A série é estacionária"

$ H_1 = $ "A série apresenta raiz unitária"

Note que as hipóteses deste teste não são iguais aos testes de Dickley - Fuller e Phillips - Perron para estacionariedade. A hipótese nula deste teste é igual às hipóteses alternativas nos testes anteriores.

Seja $ X_t, t = 1,2,\hdors,N $ as observações de uma série temporal a qual queremos testar sua estacionariedade. Suponha que podemos decompor a série em componentes de tendência, passeio aleatório e erro

$$X_t = \xi t + r_t + \varepsilon_t$$

onde $ r_t $ é o passeio aleatório

$$r_t = r_{t-1} + \mu_t$$

com $ \mu_t $ i.i.d  com média zero e variância $ \sigma_{\mu}^2 $.

Considere agora, $ e_t $, t = 1,2, ... , N os resíduos de uma regressão em y explicado pelas componentes de tendência, passeio aleatório e intercepto. Denominamos $ \hat{\sigma}_{\varepsilon}^2 $ um estimador para a variância dos erros nesta regressão, isto é, $ \hat{\sigma}_{\varepsilon}^2 = \dfrac{SQE}{N} $.  Definimos a soma parcial dos resíduos por

$$S_t = \sum^t_{i = 1} e_t, \quad t = 1, 2, \hdots, T$$

então, a estatística do teste é dada por

$$LM = \sum^N_{t = 1} \dfrac{S_t^2}{N^2 \hat{\sigma}_{\varepsilon}^2}$$

É possível mostrar que a estatística $ LM $ tem distribuição que converge assintoticamente para um Movimento Browniano em que seus valores críticos são tabelados.

Para mais detalhes acesse o artigo de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin no Journal of Econometrics em 1992.

Séries Temporais

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