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Teste criado por Denis Kwiatkowski , Peter C. B. Phillips, Peter Schmidt e Yongcheol Shin, denominado teste KPSS devido a seus nomes, tem por finalidade determinar estacionariedade em uma série temporal.
As hipóteses do teste são
$H_0 =$ "A série é estacionária"
$H_1 =$ "A série apresenta raiz unitária"
Note que as hipóteses deste teste não são iguais aos testes de Dickley - Fuller e Phillips - Perron para estacionariedade. A hipótese nula deste teste é igual às hipóteses alternativas nos testes anteriores.
Seja $X_t, t = 1,2,\hdors,N$ as observações de uma série temporal a qual queremos testar sua estacionariedade. Suponha que podemos decompor a série em componentes de tendência, passeio aleatório e erro
$$X_t = \xi t + r_t + \varepsilon_t$$
onde $r_t$ é o passeio aleatório
$$r_t = r_{t-1} + \mu_t$$
com $\mu_t$ i.i.d com média zero e variância $\sigma_{\mu}^2$.
Considere agora, $e_t$, t = 1,2, ... , N os resíduos de uma regressão em y explicado pelas componentes de tendência, passeio aleatório e intercepto. Denominamos $\hat{\sigma}_{\varepsilon}^2$ um estimador para a variância dos erros nesta regressão, isto é, $\hat{\sigma}_{\varepsilon}^2 = \dfrac{SQE}{N}$. Definimos a soma parcial dos resíduos por
$$S_t = \sum^t_{i = 1} e_t, \quad t = 1, 2, \hdots, T$$
então, a estatística do teste é dada por
$$LM = \sum^N_{t = 1} \dfrac{S_t^2}{N^2 \hat{\sigma}_{\varepsilon}^2}$$
É possível mostrar que a estatística $LM$ tem distribuição que converge assintoticamente para um Movimento Browniano em que seus valores críticos são tabelados.
Para mais detalhes acesse o artigo de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin no Journal of Econometrics em 1992.
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