1.4.3 - Teste KPSS

Teste criado por Denis Kwiatkowski , Peter C. B. Phillips, Peter Schmidt e Yongcheol Shin, denominado teste KPSS devido a seus nomes, tem por finalidade determinar estacionariedade em uma série temporal. 

As hipóteses do teste são

$H_0 =$ "A série é estacionária"

$H_1 =$ "A série apresenta raiz unitária"

Note que as hipóteses deste teste não são iguais aos testes de Dickley - Fuller e Phillips - Perron para estacionariedade. A hipótese nula deste teste é igual às hipóteses alternativas nos testes anteriores.

Seja $X_t, t = 1,2,\hdors,N$ as observações de uma série temporal a qual queremos testar sua estacionariedade. Suponha que podemos decompor a série em componentes de tendência, passeio aleatório e erro

$$X_t = \xi t + r_t + \varepsilon_t$$

onde $r_t$ é o passeio aleatório

$$r_t = r_{t-1} + \mu_t$$

com $\mu_t$ i.i.d  com média zero e variância $\sigma_{\mu}^2$.

Considere agora, $e_t$, t = 1,2, ... , N os resíduos de uma regressão em y explicado pelas componentes de tendência, passeio aleatório e intercepto. Denominamos $\hat{\sigma}_{\varepsilon}^2$ um estimador para a variância dos erros nesta regressão, isto é, $\hat{\sigma}_{\varepsilon}^2 = \dfrac{SQE}{N}$.  Definimos a soma parcial dos resíduos por

$$S_t = \sum^t_{i = 1} e_t, \quad t = 1, 2, \hdots, T$$

então, a estatística do teste é dada por

$$LM = \sum^N_{t = 1} \dfrac{S_t^2}{N^2 \hat{\sigma}_{\varepsilon}^2}$$

É possível mostrar que a estatística $LM$ tem distribuição que converge assintoticamente para um Movimento Browniano em que seus valores críticos são tabelados.

Para mais detalhes acesse o artigo de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin no Journal of Econometrics em 1992.