2.2.3 - Teste de Mann-Kendall

Seja as observações X₁, X₂,...,X_n de uma série temporal. Podemos aplicar o teste de Mann-Kendall para tendência somente se a série for serialmente independente. Então, queremos testar se as observações da série são independentes e identicamente distribuída, isto é, queremos  testar as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \text{As observações da série são independentes e identicamente distribuídas (Não há tendência);}\\H_1: \text{As observações da série possuem tendência monotônica no tempo (Há tendência).}\end{array}\right.\]

Sendo assim, sob H₀ a estatística do teste é dada por:

$$ S = \sum^{n-1}_{k=1} \sum^{n}_{j = k+1} sign(x_j - x_k)$$

onde

$$ sign(x) = \left\{\begin{array}{l} \ \ 1, \quad \hbox{se} \ x \textgreater 0 \\ \\ \ \ 0, \quad \hbox{se} \ x = 0 \\ \\ -1, \quad \hbox{se} \ x \textless 0 \end{array} \right.$$

É possível mostrar que S é normalmente distribuída, ou seja, $S \sim N(\mu, \sigma^2)$ com

$$\mu = 0$$

$$\sigma^2 = \dfrac{n(n-1)(2n+5) - \sum^{P}_{j = 1} t_j(t_j -1)(2t_j + 5)}{18}$$

em que n é o número de observações e, considerando o caso em que a série pode ter grupos com observações iguais, P é o número de grupos com observações iguais e t_j é o numero de observações iguais no grupo j.

No caso em que o número de observações é superior a 30, a estatística do teste é calculada por

$$ Z = \left\{\begin{array}{l} \dfrac{S-1}{\sigma}, \quad \hbox{se} \ S \textgreater 0 \\ \\ \ \ \ 0, \quad \quad \hbox{se} \ S = 0 \\ \\ \dfrac{S+1}{\sigma}, \quad \hbox{se} \ S \textless 0 \end{array} \right.$$
Mesmo para um número de observações inferiores a 30, podemos utilizar a estatística Z para realizarmos o teste.

Em um teste bilateral, não rejeitamos a hipótese nula H₀ para um dado nível de significância $\alpha$, se para o quantil $Z_{\alpha /2}$ de uma distribuição normal padrão temos $|Z| \leq Z_{\alpha /2}$.

Exemplo 2.2.3.1:

Considere Exemplo 2.2.1.1, as observações abaixo são referente aos índices do IBOVESPA no período de 01 de setembro de 2009 a 01 de novembro de 2009.

Gráfico da série:

Resultados utilizando o Action:

Portanto, rejeitamos a hipótese nula de não existência de tendência na série.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo.

Exemplo 2.2.3.2:

Observe abaixo o gráfico da série temporal, do Exemplo 2.2.1.2, os valores diários de fechamento das ações da Petrobras no período de 10 de julho de 2007 a 09 de janeiro de 2008, com um total de 123 observações. Os dados deste exemplo podem ser obtidos clicando aqui.

Resultados utilizando o Action:

Analisando os resultados, rejeitamos a hipótese nula de que as informações são independentes e identicamente distribuídas, ou seja, rejeitamos que a série não possui tendência.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo.