2.3.1 - Sazonalidade determinística

Sazonalidade determinística é quando pressupomos um padrão sazonal regular e estável no tempo, desta forma podemos prever o comportamento sazonal perfeitamente a partir de dados anteriores.

Modelos de regressão são ótimos para séries que apresentam este tipo de sazonalidade. Então, utilizando a decomposição aditiva da série temporal temos temos

$$ T_t = \sum^m_{j=0} \beta_j t^j$$

$$S_t = \sum^{12}_{j=0}\alpha_j d_{jt}$$

onde $d_{jt}$ são variáveis periódicas. Estamos supondo sazonalidade constante, ou seja, $\alpha_j$ não depende de t, portanto, para uma sazonalidade determinística com período 12 temos

$$ d_{jt} = \left\{\begin{array}{l} \ \ 1, \quad \hbox{se o período t corresponde ao mes j, j=1,...,12;} \\ \ \ 0, \quad \hbox{caso contrário} \end{array} \right.$$

Assim, temos

$$ \sum^{12}_{j = 1} d_{jt} = 1, \quad t = 1, \dots , N$$

tal que a matriz de regressão é de posto m+12. Desta forma, precisamos impor a restrição abaixo para obtermos o modelo completo

$$\sum^{11}_{j = 1} \alpha_j = 0$$

assim, o modelo de posto completo é dado por

$$Z_t = \sum^m_{j = 0} \beta_j t^j + \sum^{11}_{j = 1} \alpha_j D_{jt} + a_t$$

tal que

$$ D_{jt} = \left\{\begin{array}{l} \ \ 1, \quad \hbox{se o período t corresponde ao mes j,} \\ \ \ 0, \quad \hbox{se o período t corresponde ao mes 12,} \\ -1, \quad \hbox{caso contrário.} \end{array} \right.$$

Agora, a partir do modelo com posto completo, podemos utilizar o método dos mínimos quadrados para obter os estimadores de $\alpha_j$ e $\beta_j$.