2.4.1 - Teste de Kruskal-Wallis

Supondo uma amostra de uma população, subdividida em k conjuntos de amostras de tamanho $n_j$ cada, que varia dependendo da série que estamos trabalhando. Por exemplo, se a série for anual e temos observações mensais, isto é, n_j = 12 e k representaria o número de anos.

Então, temos as seguintes amostras

$Y_{ij}, \quad j=1,\dots,k, \ \ i=1, \dots\, n_j, \quad N = \sum^k_{j=1} n_j$

Substituímos as observações Y_ij por seus respectivos postos dentre todas as N observações, somamos todos os postos em cada subgrupo j, ou seja

$R_{.j} = \sum^{n_j}_{i=1} R_{ij}, \quad j=1,\dots,k.$

Assim, a estatística para o teste é dada por

$H=\frac{\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^kn_i\left(R_{i\cdot}-\frac{N+1}{2}\right)^2}{1-\frac{ \sum_{j=1}^g t_j^3-t_j}{N^3-N}}=\frac{\left(\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i} \right)-3(N+1)}{1-\frac{\sum_{j=1}^g t_j^3-t_j}{N^3-N}}$

onde t é o número de observações repetidas no grupo j e g é o número de grupos com observações repetidas.

Sob H₀, para n_j suficientemente grande, ou k $\ge$ 4, a distribuição de H pode ser aproximada por uma variável $\chi^2$ com k-1 graus de liberdade. Portanto, rejeitamos a hipótese nula de não existência de sazonalidade determinística se $P_{h_0}(H \ge \chi^2_{(k-1), \alpha}) = \alpha$ , tal que $\alpha$ é o nível de significância do teste.

Exemplo 2.4.1:

Consideramos novamente a série temporal AirPassengers do Exemplo 2.3.2 e aplicamos o teste de Kruskal-Wallis.

Ano/Mes	Jan	Fev	Mar	Abr	Mai	Jun	Jul	Ago	Set	out	Nov	Dez
1949	112	118	132	129	121	135	148	148	136	119	104	118
1950	115	126	141	135	125	149	170	170	158	133	114	140
1951	145	150	178	163	172	178	199	199	184	162	146	166
1952	171	180	193	181	183	218	230	242	209	191	172	194
1953	196	196	236	235	229	243	264	272	237	211	180	201
1954	204	188	235	227	234	264	302	293	259	229	203	229
1955	242	233	267	269	270	315	364	347	312	274	237	278
1956	284	277	317	313	318	374	413	405	355	306	271	306
1957	315	301	356	348	355	422	465	467	404	347	305	336
1958	340	318	362	348	363	435	491	505	404	359	310	337
1959	360	342	406	396	420	472	548	559	463	407	362	405
1960	417	391	419	461	472	535	622	606	508	461	390	432

Então, temos

$n_j = \hbox{número de meses} = 12, \quad j = 1,2,\dots,12$

$N = \sum^{12}_{j=1}n_j = 144$

Os postos de cada observação, são dados pela tabela abaixo

Ano/mes	Jan	Fev	Mar	Abr	Mai	Jun	Jul	Ago	Set	Out	Nov	Dez
1949	2,0	5,5	12,0	11,0	8,0	14,5	21,5	21,5	16,0	7,0	1,0	5,5
1950	4,0	10,0	18,0	14,5	9,0	23,0	29,5	29,5	25,0	13,0	3,0	17,0
1951	19,0	24,0	34,5	27,0	32,5	34,5	47,5	47,5	40,0	26,0	20,0	28,0
1952	31,0	36,5	43,0	38,0	39,0	54,0	59,0	67,5	52,0	42,0	32,5	44,0
1953	45,5	45,5	64,0	62,5	57,0	69,0	71,5	77,0	65,5	53,0	36,5	49,0
1954	51,0	41,0	62,5	55,0	61,0	71,5	84,0	82,0	70,0	57,0	50,0	57,0
1955	67,5	60,0	73,0	74,0	75,0	91,5	112,0	100,5	89,0	78,0	65,5	80,0
1956	81,0	79,0	93,0	90,0	94,5	113,0	123,0	119,5	104,5	86,5	76,0	86,5
1957	91,5	83,0	106,0	102,5	104,5	127,0	133,0	134,0	117,5	100,5	85,0	96,0
1958	98,0	94,5	109,5	102,5	111,0	129,0	137,0	138,0	117,5	107,0	88,0	97,0
1959	108,0	99,0	121,0	116,0	126,0	135,5	141,0	142,0	132,0	122,0	109,5	119,5
1960	124,0	115,0	125,0	130,5	135,5	140,0	144,0	143,0	139,0	130,5	114,0	128,0

Utilizando o Action para efetuar os cálculos obtemos:

Portanto, sob $H_0$ temos $P(H \ge \chi^2_{11, \alpha}) \approx 0$ e rejeitamos a hipótese nula de que não existe sazonalidade determinística.

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