2.4.1 - Teste de Kruskal-Wallis

Supondo uma amostra de uma população, subdividida em k conjuntos de amostras de tamanho $n_j$ cada, que varia dependendo da série que estamos trabalhando. Por exemplo, se a série for anual e temos observações mensais, isto é, n_j = 12 e k representaria o número de anos.

Então, temos as seguintes amostras

$$Y_{ij}, \quad j=1,\dots,k, \ \ i=1, \dots\, n_j, \quad N = \sum^k_{j=1} n_j$$

Substituímos as observações Y_ij por seus respectivos postos dentre todas as N observações, somamos todos os postos em cada subgrupo j, ou seja

$$R_{.j} = \sum^{n_j}_{i=1} R_{ij}, \quad j=1,\dots,k.$$

Assim, a estatística para o teste é dada por

\[H=\frac{\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^kn_i\left(R_{i\cdot}-\frac{N+1}{2}\right)^2}{1-\frac{ \sum_{j=1}^g t_j^3-t_j}{N^3-N}}=\frac{\left(\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i} \right)-3(N+1)}{1-\frac{\sum_{j=1}^g t_j^3-t_j}{N^3-N}}\]

onde t é o número de observações repetidas no grupo j e g é o número de grupos com observações repetidas.

Sob H₀, para n_j suficientemente grande, ou k $\ge$ 4, a distribuição de H pode ser aproximada por uma variável $\chi^2$ com k-1 graus de liberdade. Portanto, rejeitamos a hipótese nula de não existência de sazonalidade determinística se $P_{h_0}(H \ge \chi^2_{(k-1), \alpha}) = \alpha$, tal que $\alpha$ é o nível de significância do teste.

Exemplo 2.4.1:

Consideramos novamente a série temporal AirPassengers do Exemplo 2.3.2 e aplicamos o teste de Kruskal-Wallis. 

Então, temos

$$n_j = \hbox{número de meses} = 12, \quad j = 1,2,\dots,12$$

$$N = \sum^{12}_{j=1}n_j = 144$$

Os postos de cada observação, são dados pela tabela abaixo

Utilizando o Action para efetuar os cálculos obtemos:

Portanto, sob $H_0$ temos $P(H \ge \chi^2_{11, \alpha}) \approx 0$ e rejeitamos a hipótese nula de que não existe sazonalidade determinística.