2.4.2 - Teste de Friedman

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Considere a série temporal $ Z_t $ tal que podemos interpreta-la na forma do modelo aditivo $ Z_t = T_t + S_t + a_t $.

Para podermos aplicar o teste de Friedman para sazonalidade determinística precisamo considerar a série livre de tendência, ou seja, considerando $ \hat{T_t} $ o estimador para a tendência da série, vamos trabalhar com a série

$$Y_t = Z_t - \hat{T_t}.$$

Dividimos a série em blocos de períodos e calculamos o posto de cada observação em cada bloco, por exemplo, se estivermos analisando uma série temporal com dados mensais durante 20 anos, vamos testar a sazonalidade em cada mês durante os 20 anos, então temos um período de 12 meses e 20 blocos de períodos.

Assim, a estatística do teste pode ser calculada por

$$H = \dfrac{12}{nk(k+1)}\sum_{j=1}^kR_{.j}^2 - 3n(k+1), \quad \hbox{onde} \ \ R_{,j} = \sum_{i=1}^nR_{ij},$$

onde $ R_{ij} $ é o posto da observação $ Y_{ij} $ dentro do bloco i, n é o número de blocos e k é o tamanho do período. A distribuição de H pode ser aproximada por uma distribuição $ \chi^2 $ com k-1 graus de liberdade.

Exemplo 2.4.1:

Consideramos novamente a série temporal AirPassengers do Exemplo 2.3.2 e aplicamos o teste de Friedman. Os dados deste exemplo podem ser adquiridos aqui(*Colocar link com resolução do Action).

 
Ano/Mes Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set out Nov Dez
1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140
1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166
1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194
1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201
1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229
1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278
1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306
1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336
1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337
1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405
1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432

 

Então, temos

$$n_j = \hbox{número de meses} = 12, \quad j = 1,2,\dots,12$$

$$N = \sum^{12}_{j=1}n_j = 144$$

Os postos de cada observação, são dados pela tabela abaixo

 

Ano/mes Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
1949 2,0 5,5 12,0 11,0 8,0 14,5 21,5 21,5 16,0 7,0 1,0 5,5
1950 4,0 10,0 18,0 14,5 9,0 23,0 29,5 29,5 25,0 13,0 3,0 17,0
1951 19,0 24,0 34,5 27,0 32,5 34,5 47,5 47,5 40,0 26,0 20,0 28,0
1952 31,0 36,5 43,0 38,0 39,0 54,0 59,0 67,5 52,0 42,0 32,5 44,0
1953 45,5 45,5 64,0 62,5 57,0 69,0 71,5 77,0 65,5 53,0 36,5 49,0
1954 51,0 41,0 62,5 55,0 61,0 71,5 84,0 82,0 70,0 57,0 50,0 57,0
1955 67,5 60,0 73,0 74,0 75,0 91,5 112,0 100,5 89,0 78,0 65,5 80,0
1956 81,0 79,0 93,0 90,0 94,5 113,0 123,0 119,5 104,5 86,5 76,0 86,5
1957 91,5 83,0 106,0 102,5 104,5 127,0 133,0 134,0 117,5 100,5 85,0 96,0
1958 98,0 94,5 109,5 102,5 111,0 129,0 137,0 138,0 117,5 107,0 88,0 97,0
1959 108,0 99,0 121,0 116,0 126,0 135,5 141,0 142,0 132,0 122,0 109,5 119,5
1960 124,0 115,0 125,0 130,5 135,5 140,0 144,0 143,0 139,0 130,5 114,0 128,0

 

Utilizando o Action para efetuar os cálculos obtemos:

Portanto, sob $ H_0 $ temos $ P(H \ge \chi^2_{11, \alpha}) \approx 0 $ e rejeitamos a hipótese nula de que não existe sazonalidade determinística.

Séries Temporais

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