2.4.2 - Teste de Friedman

Considere a série temporal $Z_t$ tal que podemos interpreta-la na forma do modelo aditivo $Z_t = T_t + S_t + a_t$.

Para podermos aplicar o teste de Friedman para sazonalidade determinística precisamo considerar a série livre de tendência, ou seja, considerando $\hat{T_t}$ o estimador para a tendência da série, vamos trabalhar com a série

$$Y_t = Z_t - \hat{T_t}.$$

Dividimos a série em blocos de períodos e calculamos o posto de cada observação em cada bloco, por exemplo, se estivermos analisando uma série temporal com dados mensais durante 20 anos, vamos testar a sazonalidade em cada mês durante os 20 anos, então temos um período de 12 meses e 20 blocos de períodos.

Assim, a estatística do teste pode ser calculada por

$$H = \dfrac{12}{nk(k+1)}\sum_{j=1}^kR_{.j}^2 - 3n(k+1), \quad \hbox{onde} \ \ R_{,j} = \sum_{i=1}^nR_{ij},$$

onde $R_{ij}$ é o posto da observação $Y_{ij}$ dentro do bloco i, n é o número de blocos e k é o tamanho do período. A distribuição de H pode ser aproximada por uma distribuição $\chi^2$ com k-1 graus de liberdade.

Exemplo 2.4.1:

Consideramos novamente a série temporal AirPassengers do Exemplo 2.3.2 e aplicamos o teste de Friedman. Os dados deste exemplo podem ser adquiridos aqui(*Colocar link com resolução do Action).

Portanto, sob $H_0$ temos $P(H \ge \chi^2_{11, \alpha}) \approx 0$ e rejeitamos a hipótese nula de que não existe sazonalidade determinística.