2.4.3 - Teste F

O teste $F$ para detectar sazonalidade determinística se trata do mesmo teste de hipóteses utilizado para comparar variâncias em um modelo estatístico.

Considere a série temporal $Z_t$ tal que podemos interpreta-la na forma do modelo aditivo, neste caso, escrevemos as observações da série temporal sem a componente de tendência no seguinte modelo

$Y_{ij} = S_j + e_{ij}, \quad i = 1,\dots,n_j; \quad j=1,\dots, k.$

onde $n_j$ é o tamanho do período a ser considerado e k o número de blocos de períodos, supondo $e_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$ . A estatística do teste $F$ pode ser escrita como

$H = \dfrac{N - k}{k - 1}\dfrac{\sum_{j=1}^kn_j(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y})^2}{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_j}(Y_{ij} - \bar{Y_{.j}})^2}, \quad \hbox{onde} \quad N = \sum_{j=1}^kn_j.$

Aproximamos a distribuição de H por uma F de Fisher-Snedcor com (k-1) e (N-k) graus de liberdade, ou seja, $H \sim F(k-1,N-k)$ .

Exemplo 2.4.3:

Consideramos novamente a série temporal AirPassengers do Exemplo 2.3.2 e aplicamos o teste F para uma análise de variância. Os dados deste exemplo podem ser adquiridos aqui(*Colocar link com resolução do Action).

Os postos de cada observação, são dados pela tabela abaixo

Ano/mês	Jan	Fev	Mar	Abr	Mai	Jun	Jul	Ago	Set	Out	Nov	Dez
1949	2,0	5,5	12,0	11,0	8,0	14,5	21,5	21,5	16,0	7,0	1,0	5,5
1950	4,0	10,0	18,0	14,5	9,0	23,0	29,5	29,5	25,0	13,0	3,0	17,0
1951	19,0	24,0	34,5	27,0	32,5	34,5	47,5	47,5	40,0	26,0	20,0	28,0
1952	31,0	36,5	43,0	38,0	39,0	54,0	59,0	67,5	52,0	42,0	32,5	44,0
1953	45,5	45,5	64,0	62,5	57,0	69,0	71,5	77,0	65,5	53,0	36,5	49,0
1954	51,0	41,0	62,5	55,0	61,0	71,5	84,0	82,0	70,0	57,0	50,0	57,0
1955	67,5	60,0	73,0	74,0	75,0	91,5	112,0	100,5	89,0	78,0	65,5	80,0
1956	81,0	79,0	93,0	90,0	94,5	113,0	123,0	119,5	104,5	86,5	76,0	86,5
1957	91,5	83,0	106,0	102,5	104,5	127,0	133,0	134,0	117,5	100,5	85,0	96,0
1958	98,0	94,5	109,5	102,5	111,0	129,0	137,0	138,0	117,5	107,0	88,0	97,0
1959	108,0	99,0	121,0	116,0	126,0	135,5	141,0	142,0	132,0	122,0	109,5	119,5
1960	124,0	115,0	125,0	130,5	135,5	140,0	144,0	143,0	139,0	130,5	114,0	128,0

Portanto, temos

$\sum^{12}_{j=1}12(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y})^2 = 211306,90$

$\sum^{12}_{j=1}\sum^{12}_{i=1}(Y_{ij} - \bar{Y_{.j}})^2 = 58286,99$

$H = \dfrac{144 - 12}{12 - 1}*\dfrac{211306,90}{58286,99} = 43,50$

Utilizando o Action obtemos o mesmo resultado:

Pela tabela da distribuição F para um nível de significância de $\alpha = 0,05$ , temos $F_{(11, 132, \alpha=0,05)} = 1,86$ . Portanto, rejeitamos a hipóteses nula de que a série não possui sazonalidade determinística.

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