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O teste $F$ para detectar sazonalidade determinística se trata do mesmo teste de hipóteses utilizado para comparar variâncias em um modelo estatístico.
Considere a série temporal $Z_t$ tal que podemos interpreta-la na forma do modelo aditivo, neste caso, escrevemos as observações da série temporal sem a componente de tendência no seguinte modelo
$$Y_{ij} = S_j + e_{ij}, \quad i = 1,\dots,n_j; \quad j=1,\dots, k.$$
onde $n_j$ é o tamanho do período a ser considerado e k o número de blocos de períodos, supondo $e_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$. A estatística do teste $F$ pode ser escrita como
$$H = \dfrac{N - k}{k - 1}\dfrac{\sum_{j=1}^kn_j(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y})^2}{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_j}(Y_{ij} - \bar{Y_{.j}})^2}, \quad \hbox{onde} \quad N = \sum_{j=1}^kn_j.$$
Aproximamos a distribuição de H por uma F de Fisher-Snedcor com (k-1) e (N-k) graus de liberdade, ou seja, $H \sim F(k-1,N-k)$.
Consideramos novamente a série temporal AirPassengers do Exemplo 2.3.2 e aplicamos o teste F para uma análise de variância. Os dados deste exemplo podem ser adquiridos aqui(*Colocar link com resolução do Action).
Os postos de cada observação, são dados pela tabela abaixo
Ano/mês | Jan | Fev | Mar | Abr | Mai | Jun | Jul | Ago | Set | Out | Nov | Dez |
1949 | 2,0 | 5,5 | 12,0 | 11,0 | 8,0 | 14,5 | 21,5 | 21,5 | 16,0 | 7,0 | 1,0 | 5,5 |
1950 | 4,0 | 10,0 | 18,0 | 14,5 | 9,0 | 23,0 | 29,5 | 29,5 | 25,0 | 13,0 | 3,0 | 17,0 |
1951 | 19,0 | 24,0 | 34,5 | 27,0 | 32,5 | 34,5 | 47,5 | 47,5 | 40,0 | 26,0 | 20,0 | 28,0 |
1952 | 31,0 | 36,5 | 43,0 | 38,0 | 39,0 | 54,0 | 59,0 | 67,5 | 52,0 | 42,0 | 32,5 | 44,0 |
1953 | 45,5 | 45,5 | 64,0 | 62,5 | 57,0 | 69,0 | 71,5 | 77,0 | 65,5 | 53,0 | 36,5 | 49,0 |
1954 | 51,0 | 41,0 | 62,5 | 55,0 | 61,0 | 71,5 | 84,0 | 82,0 | 70,0 | 57,0 | 50,0 | 57,0 |
1955 | 67,5 | 60,0 | 73,0 | 74,0 | 75,0 | 91,5 | 112,0 | 100,5 | 89,0 | 78,0 | 65,5 | 80,0 |
1956 | 81,0 | 79,0 | 93,0 | 90,0 | 94,5 | 113,0 | 123,0 | 119,5 | 104,5 | 86,5 | 76,0 | 86,5 |
1957 | 91,5 | 83,0 | 106,0 | 102,5 | 104,5 | 127,0 | 133,0 | 134,0 | 117,5 | 100,5 | 85,0 | 96,0 |
1958 | 98,0 | 94,5 | 109,5 | 102,5 | 111,0 | 129,0 | 137,0 | 138,0 | 117,5 | 107,0 | 88,0 | 97,0 |
1959 | 108,0 | 99,0 | 121,0 | 116,0 | 126,0 | 135,5 | 141,0 | 142,0 | 132,0 | 122,0 | 109,5 | 119,5 |
1960 | 124,0 | 115,0 | 125,0 | 130,5 | 135,5 | 140,0 | 144,0 | 143,0 | 139,0 | 130,5 | 114,0 | 128,0 |
Portanto, temos
$$\sum^{12}_{j=1}12(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y})^2 = 211306,90$$
$$\sum^{12}_{j=1}\sum^{12}_{i=1}(Y_{ij} - \bar{Y_{.j}})^2 = 58286,99$$
$$H = \dfrac{144 - 12}{12 - 1}*\dfrac{211306,90}{58286,99} = 43,50$$
Utilizando o Action obtemos o mesmo resultado:
Pela tabela da distribuição F para um nível de significância de $\alpha = 0,05$, temos $F_{(11, 132, \alpha=0,05)} = 1,86$. Portanto, rejeitamos a hipóteses nula de que a série não possui sazonalidade determinística.
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