2.4.3 - Teste F

O teste $F$ para detectar sazonalidade determinística se trata do mesmo teste de hipóteses utilizado para comparar variâncias em um modelo estatístico.

Considere a série temporal $Z_t$ tal que podemos interpreta-la na forma do modelo aditivo, neste caso, escrevemos as observações da série temporal sem a componente de tendência no seguinte modelo

$$Y_{ij} = S_j + e_{ij}, \quad i = 1,\dots,n_j; \quad j=1,\dots, k.$$

onde $n_j$ é o tamanho do período a ser considerado e k o número de blocos de períodos, supondo $e_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$. A estatística do teste $F$ pode ser escrita como

$$H = \dfrac{N - k}{k - 1}\dfrac{\sum_{j=1}^kn_j(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y})^2}{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_j}(Y_{ij} - \bar{Y_{.j}})^2}, \quad \hbox{onde} \quad N = \sum_{j=1}^kn_j.$$

Aproximamos a distribuição de H por uma F de Fisher-Snedcor com (k-1) e (N-k) graus de liberdade, ou seja, $H \sim F(k-1,N-k)$.

Exemplo 2.4.3:

Consideramos novamente a série temporal AirPassengers do Exemplo 2.3.2 e aplicamos o teste F para uma análise de variância. Os dados deste exemplo podem ser adquiridos aqui(*Colocar link com resolução do Action).

Os postos de cada observação, são dados pela tabela abaixo

Portanto, temos

$$\sum^{12}_{j=1}12(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y})^2 = 211306,90$$

$$\sum^{12}_{j=1}\sum^{12}_{i=1}(Y_{ij} - \bar{Y_{.j}})^2 = 58286,99$$

$$H = \dfrac{144 - 12}{12 - 1}*\dfrac{211306,90}{58286,99} = 43,50$$

Utilizando o Action obtemos o mesmo resultado:

Pela tabela da distribuição F para um nível de significância de $\alpha = 0,05$, temos $F_{(11, 132, \alpha=0,05)} = 1,86$. Portanto, rejeitamos a hipóteses nula de que a série não possui sazonalidade determinística.