O teste $ F $ para detectar sazonalidade determinística se trata do mesmo teste de hipóteses utilizado para comparar variâncias em um modelo estatístico.

Considere a série temporal $ Z_t $ tal que podemos interpreta-la na forma do modelo aditivo, neste caso, escrevemos as observações da série temporal sem a componente de tendência no seguinte modelo

$$Y_{ij} = S_j + e_{ij}, \quad i = 1,\dots,n_j; \quad j=1,\dots, k.$$

onde $ n_j $ é o tamanho do período a ser considerado e k o número de blocos de períodos, supondo $ e_{ij} \sim N(0, \sigma^2) $. A estatística do teste $ F $ pode ser escrita como

$$H = \dfrac{N - k}{k - 1}\dfrac{\sum_{j=1}^kn_j(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y})^2}{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_j}(Y_{ij} - \bar{Y_{.j}})^2}, \quad \hbox{onde} \quad N = \sum_{j=1}^kn_j.$$

Aproximamos a distribuição de H por uma F de Fisher-Snedcor com (k-1) e (N-k) graus de liberdade, ou seja, $ H \sim F(k-1,N-k) $.

Exemplo 2.4.3:

Consideramos novamente a série temporal AirPassengers do Exemplo 2.3.2 e aplicamos o teste F para uma análise de variância. Os dados deste exemplo podem ser adquiridos aqui(*Colocar link com resolução do Action).

Os postos de cada observação, são dados pela tabela abaixo

 

Ano/mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
1949 2,0 5,5 12,0 11,0 8,0 14,5 21,5 21,5 16,0 7,0 1,0 5,5
1950 4,0 10,0 18,0 14,5 9,0 23,0 29,5 29,5 25,0 13,0 3,0 17,0
1951 19,0 24,0 34,5 27,0 32,5 34,5 47,5 47,5 40,0 26,0 20,0 28,0
1952 31,0 36,5 43,0 38,0 39,0 54,0 59,0 67,5 52,0 42,0 32,5 44,0
1953 45,5 45,5 64,0 62,5 57,0 69,0 71,5 77,0 65,5 53,0 36,5 49,0
1954 51,0 41,0 62,5 55,0 61,0 71,5 84,0 82,0 70,0 57,0 50,0 57,0
1955 67,5 60,0 73,0 74,0 75,0 91,5 112,0 100,5 89,0 78,0 65,5 80,0
1956 81,0 79,0 93,0 90,0 94,5 113,0 123,0 119,5 104,5 86,5 76,0 86,5
1957 91,5 83,0 106,0 102,5 104,5 127,0 133,0 134,0 117,5 100,5 85,0 96,0
1958 98,0 94,5 109,5 102,5 111,0 129,0 137,0 138,0 117,5 107,0 88,0 97,0
1959 108,0 99,0 121,0 116,0 126,0 135,5 141,0 142,0 132,0 122,0 109,5 119,5
1960 124,0 115,0 125,0 130,5 135,5 140,0 144,0 143,0 139,0 130,5 114,0 128,0

 

Portanto, temos

$$\sum^{12}_{j=1}12(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y})^2 = 211306,90$$

$$\sum^{12}_{j=1}\sum^{12}_{i=1}(Y_{ij} - \bar{Y_{.j}})^2 = 58286,99$$

$$H = \dfrac{144 - 12}{12 - 1}*\dfrac{211306,90}{58286,99} = 43,50$$

Utilizando o Action obtemos o mesmo resultado:

 

Pela tabela da distribuição F para um nível de significância de $ \alpha = 0,05 $, temos $ F_{(11, 132, \alpha=0,05)} = 1,86 $. Portanto, rejeitamos a hipóteses nula de que a série não possui sazonalidade determinística.

 

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