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Considere a série temporal $Z_1$, $Z_2$, ... , $Z_n$, estacionária e localmente constante, composta de seu nível e mais um ruído aleatório da seguinte forma
$$Z_t = \mu_t + a_t, \quad t=1,\dots,N$$
onde E(at) = 0, Var(at) = $\sigma_a^2$ e $\mu_t$ é um parâmetro desconhecido que varia com o tempo.
A técnica de média móvel consiste em calcular a média aritmética das k observações mais recentes, ou seja
$$M_t = \dfrac{Z_t + Z_{t-1} + \dots + Z_{t-k+1}}{k} = M_{t-1} + \dfrac{Z_t - Z_{t-k}}{k}$$
Denotamos por k como sendo o comprimento da média.
Desta forma, $M_t$ é uma estimativa do nível $\mu_t$ que não leva em consideração as observações mais antigas. Note que a cada período a observação mais antiga é substituída pela mais recente, calculando-se uma média nova.
Portanto, a previsão dos h valores futuros é dada pela última média móvel calculada, ou seja
$$\hat{Z}_t(h) = M_t,$$
ou ainda
$$\hat{Z}_t(h)= \hat{Z}_{t-1}(h+1) + \dfrac{Z_t - Z_{t-k}}{k}, \quad \forall h \textgreater 0.$$
Podemos perceber que a equação acima corrige a previsão de $Z_{t+h}$ a cada instante, ou seja, a cada nova observação na série, $Z_{t+h}$ é atualizado.
Assumindo que $a_t \sim N(0,\sigma_a^2)$, podemos afirmar que $\hat{Z}_t(h) \sim N(\mu,\dfrac{\sigma_a^2}{k})$ e construir um intervalo de confiança com nível de significância \alpha, dado por
$$\Bigg(\hat{Z}_t(h) - z_{\alpha}\dfrac{\sigma_a}{\sqrt{k}} ; \hat{Z}_t(h) + z_{\alpha}\dfrac{\sigma_a}{\sqrt{k}}\Bigg),$$
onde $z_{\alpha}$ é o quantil de uma distribuição normal padrão, com nível de significância $\alpha$.
Seja $Z_t$ uma série temporal referente às médias anuais das temperaturas na cidade de Nova York durante os anos de 1912 e 1971. Vamos ajustar um modelo MMS a está serie temporal e tentar prever a temperatura nos próximos 6 anos.
Ano | Temperatura | Ano | Temperatura | Ano | Temperatura |
1912 | 49,9 | 1932 | 51,8 | 1952 | 53,1 |
1913 | 52,3 | 1933 | 51,1 | 1953 | 54,6 |
1914 | 49,4 | 1934 | 49,8 | 1954 | 52 |
1915 | 51,1 | 1935 | 50,2 | 1955 | 52 |
1916 | 49,4 | 1936 | 50,4 | 1956 | 50,9 |
1917 | 47,9 | 1937 | 51,6 | 1957 | 52,6 |
1918 | 49,8 | 1938 | 51,8 | 1958 | 50,2 |
1919 | 50,9 | 1939 | 50,9 | 1959 | 52,6 |
1920 | 49,3 | 1940 | 48,8 | 1960 | 51,6 |
1921 | 51,9 | 1941 | 51,7 | 1961 | 51,9 |
1922 | 50,8 | 1942 | 51 | 1962 | 50,5 |
1923 | 49,6 | 1943 | 50,6 | 1963 | 50,9 |
1924 | 49,3 | 1944 | 51,7 | 1964 | 51,7 |
1925 | 50,6 | 1945 | 51,5 | 1965 | 51,4 |
1926 | 48,4 | 1946 | 52,1 | 1966 | 51,7 |
1927 | 50,7 | 1947 | 51,3 | 1967 | 50,8 |
1928 | 50,9 | 1948 | 51 | 1968 | 51,9 |
1929 | 50,6 | 1949 | 54 | 1969 | 51,8 |
1930 | 51,5 | 1950 | 51,4 | 1970 | 51,9 |
1931 | 52,8 | 1951 | 52,7 | 1971 | 53 |
Utilizando o , obtemos os seguintes resultados para um ajuste MMS com comprimento de média k = 3
Desta forma, as previsões com um intervalo de confiança de 95% são dadas por:
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo.
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