3.1 - Médias Móveis Simples (MMS)

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Considere a série temporal $ Z_1 $, $ Z_2 $, ... , $ Z_n $, estacionária e localmente constante, composta de seu nível e mais um ruído aleatório da seguinte forma

$$Z_t = \mu_t + a_t, \quad t=1,\dots,N$$

onde E(at) = 0, Var(at) = $ \sigma_a^2 $ e $ \mu_t $ é um parâmetro desconhecido que varia com o tempo.

A técnica de média móvel consiste em calcular a média aritmética das k observações mais recentes, ou seja

$$M_t = \dfrac{Z_t + Z_{t-1} + \dots + Z_{t-k+1}}{k} = M_{t-1} + \dfrac{Z_t - Z_{t-k}}{k}$$

Denotamos por k como sendo o comprimento da média.

Desta forma, $ M_t $ é uma estimativa do nível $ \mu_t $ que não leva em consideração as observações mais antigas. Note que a cada período a observação mais antiga é substituída pela mais recente, calculando-se uma média nova.

Portanto, a previsão dos h valores futuros é dada pela última média móvel calculada, ou seja

$$\hat{Z}_t(h) = M_t,$$

ou ainda

$$\hat{Z}_t(h)= \hat{Z}_{t-1}(h+1) + \dfrac{Z_t - Z_{t-k}}{k}, \quad \forall h \textgreater 0.$$

Podemos perceber que a equação acima corrige a previsão de $ Z_{t+h} $ a cada instante, ou seja, a cada nova observação na série,  $ Z_{t+h} $ é atualizado.

Assumindo que $ a_t \sim N(0,\sigma_a^2) $, podemos afirmar que $ \hat{Z}_t(h) \sim N(\mu,\dfrac{\sigma_a^2}{k}) $ e construir um intervalo de confiança com nível de significância \alpha, dado por

$$\Bigg(\hat{Z}_t(h) - z_{\alpha}\dfrac{\sigma_a}{\sqrt{k}} ; \hat{Z}_t(h) + z_{\alpha}\dfrac{\sigma_a}{\sqrt{k}}\Bigg),$$

onde $ z_{\alpha} $ é o quantil de uma distribuição normal padrão, com nível de significância $ \alpha $.

Exemplo 3.1.1:

Seja $ Z_t $ uma série temporal referente às médias anuais das temperaturas na cidade de Nova York durante os anos de 1912 e 1971. Vamos ajustar um modelo MMS a está serie temporal e tentar prever a temperatura nos próximos 6 anos.

 

Ano Temperatura Ano Temperatura Ano Temperatura
1912 49,9 1932 51,8 1952 53,1
1913 52,3 1933 51,1 1953 54,6
1914 49,4 1934 49,8 1954 52
1915 51,1 1935 50,2 1955 52
1916 49,4 1936 50,4 1956 50,9
1917 47,9 1937 51,6 1957 52,6
1918 49,8 1938 51,8 1958 50,2
1919 50,9 1939 50,9 1959 52,6
1920 49,3 1940 48,8 1960 51,6
1921 51,9 1941 51,7 1961 51,9
1922 50,8 1942 51 1962 50,5
1923 49,6 1943 50,6 1963 50,9
1924 49,3 1944 51,7 1964 51,7
1925 50,6 1945 51,5 1965 51,4
1926 48,4 1946 52,1 1966 51,7
1927 50,7 1947 51,3 1967 50,8
1928 50,9 1948 51 1968 51,9
1929 50,6 1949 54 1969 51,8
1930 51,5 1950 51,4 1970 51,9
1931 52,8 1951 52,7 1971 53

 

Utilizando o , obtemos os seguintes resultados para um ajuste MMS com comprimento de média k = 3

Desta forma, as previsões com um intervalo de confiança de 95% são dadas por:

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo.

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