3.1 - Médias Móveis Simples (MMS)

Considere a série temporal $Z_1$ , $Z_2$ , ... , $Z_n$ , estacionária e localmente constante, composta de seu nível e mais um ruído aleatório da seguinte forma

$Z_t = \mu_t + a_t, \quad t=1,\dots,N$

onde E(a_t) = 0, Var(a_t) = $\sigma_a^2$ e $\mu_t$ é um parâmetro desconhecido que varia com o tempo.

A técnica de média móvel consiste em calcular a média aritmética das k observações mais recentes, ou seja

$M_t = \dfrac{Z_t + Z_{t-1} + \dots + Z_{t-k+1}}{k} = M_{t-1} + \dfrac{Z_t - Z_{t-k}}{k}$

Denotamos por k como sendo o comprimento da média.

Desta forma, $M_t$ é uma estimativa do nível $\mu_t$ que não leva em consideração as observações mais antigas. Note que a cada período a observação mais antiga é substituída pela mais recente, calculando-se uma média nova.

Portanto, a previsão dos h valores futuros é dada pela última média móvel calculada, ou seja

$\hat{Z}_t(h) = M_t,$

ou ainda

$\hat{Z}_t(h)= \hat{Z}_{t-1}(h+1) + \dfrac{Z_t - Z_{t-k}}{k}, \quad \forall h \textgreater 0.$

Podemos perceber que a equação acima corrige a previsão de $Z_{t+h}$ a cada instante, ou seja, a cada nova observação na série, $Z_{t+h}$ é atualizado.

Assumindo que $a_t \sim N(0,\sigma_a^2)$ , podemos afirmar que $\hat{Z}_t(h) \sim N(\mu,\dfrac{\sigma_a^2}{k})$ e construir um intervalo de confiança com nível de significância \alpha, dado por

$\Bigg(\hat{Z}_t(h) - z_{\alpha}\dfrac{\sigma_a}{\sqrt{k}} ; \hat{Z}_t(h) + z_{\alpha}\dfrac{\sigma_a}{\sqrt{k}}\Bigg),$

onde $z_{\alpha}$ é o quantil de uma distribuição normal padrão, com nível de significância $\alpha$ .

Exemplo 3.1.1:

Seja $Z_t$ uma série temporal referente às médias anuais das temperaturas na cidade de Nova York durante os anos de 1912 e 1971. Vamos ajustar um modelo MMS a está serie temporal e tentar prever a temperatura nos próximos 6 anos.

Ano	Temperatura	Ano	Temperatura	Ano	Temperatura
1912	49,9	1932	51,8	1952	53,1
1913	52,3	1933	51,1	1953	54,6
1914	49,4	1934	49,8	1954	52
1915	51,1	1935	50,2	1955	52
1916	49,4	1936	50,4	1956	50,9
1917	47,9	1937	51,6	1957	52,6
1918	49,8	1938	51,8	1958	50,2
1919	50,9	1939	50,9	1959	52,6
1920	49,3	1940	48,8	1960	51,6
1921	51,9	1941	51,7	1961	51,9
1922	50,8	1942	51	1962	50,5
1923	49,6	1943	50,6	1963	50,9
1924	49,3	1944	51,7	1964	51,7
1925	50,6	1945	51,5	1965	51,4
1926	48,4	1946	52,1	1966	51,7
1927	50,7	1947	51,3	1967	50,8
1928	50,9	1948	51	1968	51,9
1929	50,6	1949	54	1969	51,8
1930	51,5	1950	51,4	1970	51,9
1931	52,8	1951	52,7	1971	53

Utilizando o , obtemos os seguintes resultados para um ajuste MMS com comprimento de média k = 3

Desta forma, as previsões com um intervalo de confiança de 95% são dadas por:

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo.

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