3.1 - Médias Móveis Simples (MMS)

Considere a série temporal $Z_1$, $Z_2$, ... , $Z_n$, estacionária e localmente constante, composta de seu nível e mais um ruído aleatório da seguinte forma

$$Z_t = \mu_t + a_t, \quad t=1,\dots,N$$

onde E(a_t) = 0, Var(a_t) = $\sigma_a^2$ e $\mu_t$ é um parâmetro desconhecido que varia com o tempo.

A técnica de média móvel consiste em calcular a média aritmética das k observações mais recentes, ou seja

$$M_t = \dfrac{Z_t + Z_{t-1} + \dots + Z_{t-k+1}}{k} = M_{t-1} + \dfrac{Z_t - Z_{t-k}}{k}$$

Denotamos por k como sendo o comprimento da média.

Desta forma, $M_t$ é uma estimativa do nível $\mu_t$ que não leva em consideração as observações mais antigas. Note que a cada período a observação mais antiga é substituída pela mais recente, calculando-se uma média nova.

Portanto, a previsão dos h valores futuros é dada pela última média móvel calculada, ou seja

$$\hat{Z}_t(h) = M_t,$$

ou ainda

$$\hat{Z}_t(h)= \hat{Z}_{t-1}(h+1) + \dfrac{Z_t - Z_{t-k}}{k}, \quad \forall h \textgreater 0.$$

Podemos perceber que a equação acima corrige a previsão de $Z_{t+h}$ a cada instante, ou seja, a cada nova observação na série,  $Z_{t+h}$ é atualizado.

Assumindo que $a_t \sim N(0,\sigma_a^2)$, podemos afirmar que $\hat{Z}_t(h) \sim N(\mu,\dfrac{\sigma_a^2}{k})$ e construir um intervalo de confiança com nível de significância \alpha, dado por

$$\Bigg(\hat{Z}_t(h) - z_{\alpha}\dfrac{\sigma_a}{\sqrt{k}} ; \hat{Z}_t(h) + z_{\alpha}\dfrac{\sigma_a}{\sqrt{k}}\Bigg),$$

onde $z_{\alpha}$ é o quantil de uma distribuição normal padrão, com nível de significância $\alpha$.

Exemplo 3.1.1:

Seja $Z_t$ uma série temporal referente às médias anuais das temperaturas na cidade de Nova York durante os anos de 1912 e 1971. Vamos ajustar um modelo MMS a está serie temporal e tentar prever a temperatura nos próximos 6 anos.

Utilizando o , obtemos os seguintes resultados para um ajuste MMS com comprimento de média k = 3

Desta forma, as previsões com um intervalo de confiança de 95% são dadas por:

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