3.2 - Suavização Exponencial Simples (SES)

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Seja $ Z_1 $,$ Z_2 $, ... ,$ Z_n $ uma série temporal estacionária. Podemos descrever uma SES por

$$\bar{Z}_t = \alpha\sum_{j=0}^{t-1}(1- \alpha)^jZ_{t-j} + (1-\alpha)^t\bar{Z}_0, \quad t=1,\dots,N,$$

onde $ \bar{Z}_t $ é denominado valor exponencialmente suavizado e $ \alpha $ é a constante de suavização, tal que $ 0 \le \alpha \le 1 $.

Expandindo a equação acima temos

$$\bar{Z}_t = \alpha Z_t + \alpha(1-\alpha)Z_{t-1} + \alpha(1-\alpha)^2Z_{t-2} + \dots$$

então, podemos concluir que a SES é uma média ponderada que da pesos maiores às observações mais recentes, eliminando uma das desvantagens do método de MMS.

A previsão dos h valores futuros é dada pelo último valor exponencialmente suavizado, ou seja

$$\hat{Z}(h) = \bar{Z}_t, \quad \forall h$$

$$\hat{Z}(h) = \alpha Z_t + (1 - \alpha)\hat{Z}_{t-1}(h+1)$$

Supondo $ a_t \sim N(0,\sigma_a^2) $, podemos construir um intervalo de confiança assintótico para $ Z_{t+h} $, dado por

$$\Bigg(\hat{Z}_t(h) - z_{\gamma}\sigma_a\sqrt{\dfrac{\alpha}{2 - \alpha}} \ ; \ \hat{Z}_t(h) + z_{\gamma}\sigma_a\sqrt{\dfrac{\alpha}{2 - \alpha}}\Bigg)$$

onde $ z_{\gamma} $ é o quantil de uma distribuição normal padrão com nível de significância $ \gamma $.

Exemplo 3.2.1:

Considere a série temporal AirPassengers que representa o número de passageiros em um aeroporto no decorrer do tempo. Vamos ajustar um modelo de SES para estes dados.

Ano/Mes Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set out Nov Dez
1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140
1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166
1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194
1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201
1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229
1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278
1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306
1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336
1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337
1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405
1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432

 

Assim, utilizando o  para efetuar os cálculos, obtemos os resultados:

A previsão será de 432 pessoas em janeiro de 1961. Note que esse tipo de previsão não é efetiva para mais do que um passo no futuro, pois devido sua formula de previsão o valor é repetido consecutivamente, independente do valor da constante de suavização $ \alpha $.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo.

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