3.4 - Suavização Exponencial de Holt - Winters (HW)

No caso de séries que apresentam um comportamento um pouco mais complexo, como sazonalidade, utilizamos outras formas de suavização como o método de Holt - Winters.

Essa técnica envolve três equações com três parâmetros de suavização que são associados a cada componente da série: nível, tendência e sazonalidade. 

Portanto, temos dois casos a serem considerados

• Série Sazonal Multiplicativa

Considere uma série sazonal com período p. A variante mais usual do método de HW considera o fator sazonal $S_t$ como sendo multiplicativo, enquanto a tendência continua aditiva, ou seja

$$Z_t = \mu_t S_t + T_t + a_t, \quad t = 1, \dots , N.$$

E assim, calculamos as três equações de suavização por

$$\hat{S}_t = D\Bigg(\dfrac{Z_t}{\bar{Z}_t}\Bigg) + (1-D)\hat{S}_{t-p}, \quad 0 \textless D \textless 1,$$

$$\bar{Z}_t = A\Bigg(\dfrac{Z_t}{\hat{S}_{t-s}}\Bigg) + (1-A)(\bar{Z}_{t-1} + \hat{T}_{t-1}), \quad 0 \textless A \textless 1,$$

$$\hat{T}_t = C(\bar{Z}_t - \bar{Z}_{t-1}) + (1-C)\hat{T}_{t-1}, \quad, 0 \textless C \textless 1,$$

que representam estimativas do fator sazonal, do nível e da tendência, respectivamente; onde A, C e D são as constantes de suavização.

Uma previsão de h passos a frente utilizando o modelo Multiplicativo pode ser encontrado através da seguinte fórmula

$$\hat{Z}(h) = (\bar{Z}_t + h\hat{T}_t)\hat{S}_{t+h-p}, \quad h= 1, 2, \dots , p,$$

$$\hat{Z}(h) = (\bar{Z}_t + h\hat{T}_t)\hat{S}_{t+h-2p}, \quad h= p+1, \dots , 2p,$$

$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$

onde $\bar{Z}_t$, $\hat{S}_t$ e $\hat{T}_t$ são dadas pelas equações acima. Para atualizarmos as previsões quando temos uma nova observação $Z_{t+1}$ basta fazermos os mesmos procedimentos com a nova observação e voltando um passo na previsão, ou seja

$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = (\bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1})\hat{S}_{t+1+h-p}, \quad h= 1, 2, \dots , p+1,$$

$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = (\bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1})\hat{S}_{t+1+h-2p}, \quad h= p+2, \dots , 2p+1,$$

Para um valor inicial das equações de recorrência, utilizamos as seguintes fórmulas

$$\hat{S}_j = \dfrac{Z_j}{(\dfrac{1}{p})\sum_{k=1}^{p}Z_k}, \quad j = 1,2,\dots , p; \quad \quad \bar{Z}_p = \dfrac{1}{p}\sum_{k=1}^pZ_k; \quad \quad \hat{T}_p = 0.$$

• Série Sazonal Aditiva

Neste caso, a série é composta por

$$Z_t = \mu_t + T_t + S_t + a_t $$

E portanto, podemos calcular as equações de suavização por

$$\hat{S}_t = D(Z_t - \bat{Z}_t) + (1-D)\hat{S}_{t-s} , \quad 0 \textless D \textless 1,$$

$$\bar{Z}_t = A(Z_t - \hat{S}_{t-s}) + (1-A)(\bar{Z}_{t-1} + \hat{T}_{t-1}), \quad 0 \textless A \textless 1,$$

$$\hat{T}_t = C(\bar{Z}_t - \bar{Z}_{t-1}) + (1-C)\hat{T}_{t-1}, \quad 0 \textless C \textless 1.$$

que representam a estimativa do fator sazonal, do nível e da tendência, respectivamente, onde A, C e D são as constantes de suavização.

Uma previsão de h passos a frente pode ser feita através das equações

$$\hat{Z}_t(h) = \bar{Z}_t + h\hat{T}_t + \hat{S}_{t+h-p}, \quad h = 1,2,\dots p,$$

$$\hat{Z}_t(h) = \bar{Z}_t + h\hat{T}_t + \hat{S}_{t+h-2p}, \quad h = p+1,\dots 2p,$$

$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$

Se obtemos uma nova observação $Z_{t+1}$ podemos atualizar a previsão de $Z_{t+h}$ recalculando as equações de recorrência para o ponto t+1, ou seja

$$\hat{S}_{t+1} = D(Z_{t+1} - \bat{Z}_{t+1}) + (1-D)\hat{S}_{t+1-s}$$

$$\bar{Z}_{t+1} = A(Z_{t+1} - \hat{S}_{t+1-s}) + (1-A)(\bar{Z}_{t} + \hat{T}_{t}),$$

$$\hat{T}_{t+1} = C(\bar{Z}_{t+1} - \bar{Z}_{t}) + (1-C)\hat{T}_{t}.$$

e assim, a nova previsão para $Z_{t+h}$ será 

$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = \bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1} + \hat{S}_{t+1+h-p}, \quad h = 1,2,\dots p+1,$$

$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = \bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1} + \hat{S}_{t+1+h-2p}, \quad h = p+2,\dots 2p+1,$$

$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$

Exemplo 3.4.1: 

Considere a mesma série temporal do exemplo 3.2.1, vamos tentar prever o número de passageiros na linha aérea para os próximos três anos, isso é 36 passos à frente.

Neste caso, o comprimento sazonal é k = 12. Como esta série tem um comportamento sazonal e tendência bastante evidente, torna-se um caso ótimo para previsão utilizando a suavização de HW.