3.4 - Suavização Exponencial de Holt - Winters (HW)

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No caso de séries que apresentam um comportamento um pouco mais complexo, como sazonalidade, utilizamos outras formas de suavização como o método de Holt - Winters.

Essa técnica envolve três equações com três parâmetros de suavização que são associados a cada componente da série: nível, tendência e sazonalidade. 

Portanto, temos dois casos a serem considerados

  • Série Sazonal Multiplicativa

Considere uma série sazonal com período p. A variante mais usual do método de HW considera o fator sazonal $ S_t $ como sendo multiplicativo, enquanto a tendência continua aditiva, ou seja

$$Z_t = \mu_t S_t + T_t + a_t, \quad t = 1, \dots , N.$$

E assim, calculamos as três equações de suavização por

$$\hat{S}_t = D\Bigg(\dfrac{Z_t}{\bar{Z}_t}\Bigg) + (1-D)\hat{S}_{t-p}, \quad 0 \textless D \textless 1,$$

$$\bar{Z}_t = A\Bigg(\dfrac{Z_t}{\hat{S}_{t-s}}\Bigg) + (1-A)(\bar{Z}_{t-1} + \hat{T}_{t-1}), \quad 0 \textless A \textless 1,$$

$$\hat{T}_t = C(\bar{Z}_t - \bar{Z}_{t-1}) + (1-C)\hat{T}_{t-1}, \quad, 0 \textless C \textless 1,$$

que representam estimativas do fator sazonal, do nível e da tendência, respectivamente; onde A, C e D são as constantes de suavização.

Uma previsão de h passos a frente utilizando o modelo Multiplicativo pode ser encontrado através da seguinte fórmula

$$\hat{Z}(h) = (\bar{Z}_t + h\hat{T}_t)\hat{S}_{t+h-p}, \quad h= 1, 2, \dots , p,$$

$$\hat{Z}(h) = (\bar{Z}_t + h\hat{T}_t)\hat{S}_{t+h-2p}, \quad h= p+1, \dots , 2p,$$

$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$

onde $ \bar{Z}_t $, $ \hat{S}_t $ e $ \hat{T}_t $ são dadas pelas equações acima. Para atualizarmos as previsões quando temos uma nova observação $ Z_{t+1} $ basta fazermos os mesmos procedimentos com a nova observação e voltando um passo na previsão, ou seja

$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = (\bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1})\hat{S}_{t+1+h-p}, \quad h= 1, 2, \dots , p+1,$$

$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = (\bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1})\hat{S}_{t+1+h-2p}, \quad h= p+2, \dots , 2p+1,$$

Para um valor inicial das equações de recorrência, utilizamos as seguintes fórmulas

$$\hat{S}_j = \dfrac{Z_j}{(\dfrac{1}{p})\sum_{k=1}^{p}Z_k}, \quad j = 1,2,\dots , p; \quad \quad \bar{Z}_p = \dfrac{1}{p}\sum_{k=1}^pZ_k; \quad \quad \hat{T}_p = 0.$$

  • Série Sazonal Aditiva

Neste caso, a série é composta por

$$Z_t = \mu_t + T_t + S_t + a_t $$

E portanto, podemos calcular as equações de suavização por

$$\hat{S}_t = D(Z_t - \bat{Z}_t) + (1-D)\hat{S}_{t-s} , \quad 0 \textless D \textless 1,$$

$$\bar{Z}_t = A(Z_t - \hat{S}_{t-s}) + (1-A)(\bar{Z}_{t-1} + \hat{T}_{t-1}), \quad 0 \textless A \textless 1,$$

$$\hat{T}_t = C(\bar{Z}_t - \bar{Z}_{t-1}) + (1-C)\hat{T}_{t-1}, \quad 0 \textless C \textless 1.$$

que representam a estimativa do fator sazonal, do nível e da tendência, respectivamente, onde A, C e D são as constantes de suavização.

Uma previsão de h passos a frente pode ser feita através das equações

$$\hat{Z}_t(h) = \bar{Z}_t + h\hat{T}_t + \hat{S}_{t+h-p}, \quad h = 1,2,\dots p,$$

$$\hat{Z}_t(h) = \bar{Z}_t + h\hat{T}_t + \hat{S}_{t+h-2p}, \quad h = p+1,\dots 2p,$$

$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$

Se obtemos uma nova observação $ Z_{t+1} $ podemos atualizar a previsão de $ Z_{t+h} $ recalculando as equações de recorrência para o ponto t+1, ou seja

$$\hat{S}_{t+1} = D(Z_{t+1} - \bat{Z}_{t+1}) + (1-D)\hat{S}_{t+1-s}$$

$$\bar{Z}_{t+1} = A(Z_{t+1} - \hat{S}_{t+1-s}) + (1-A)(\bar{Z}_{t} + \hat{T}_{t}),$$

$$\hat{T}_{t+1} = C(\bar{Z}_{t+1} - \bar{Z}_{t}) + (1-C)\hat{T}_{t}.$$

e assim, a nova previsão para $ Z_{t+h} $ será 

$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = \bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1} + \hat{S}_{t+1+h-p}, \quad h = 1,2,\dots p+1,$$

$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = \bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1} + \hat{S}_{t+1+h-2p}, \quad h = p+2,\dots 2p+1,$$

$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$

Exemplo 3.4.1: 

Considere a mesma série temporal do exemplo 3.2.1, vamos tentar prever o número de passageiros na linha aérea para os próximos três anos, isso é 36 passos à frente.

Ano/Mes Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set out Nov Dez
1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140
1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166
1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194
1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201
1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229
1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278
1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306
1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336
1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337
1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405
1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432

 

Assim, utilizando o  para efetuar os cálculos, obtemos os resultados:


 

Neste caso, o comprimento sazonal é k = 12. Como esta série tem um comportamento sazonal e tendência bastante evidente, torna-se um caso ótimo para previsão utilizando a suavização de HW.

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