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No caso de séries que apresentam um comportamento um pouco mais complexo, como sazonalidade, utilizamos outras formas de suavização como o método de Holt - Winters.
Essa técnica envolve três equações com três parâmetros de suavização que são associados a cada componente da série: nível, tendência e sazonalidade.
Portanto, temos dois casos a serem considerados
Considere uma série sazonal com período p. A variante mais usual do método de HW considera o fator sazonal $S_t$ como sendo multiplicativo, enquanto a tendência continua aditiva, ou seja
$$Z_t = \mu_t S_t + T_t + a_t, \quad t = 1, \dots , N.$$
E assim, calculamos as três equações de suavização por
$$\hat{S}_t = D\Bigg(\dfrac{Z_t}{\bar{Z}_t}\Bigg) + (1-D)\hat{S}_{t-p}, \quad 0 \textless D \textless 1,$$
$$\bar{Z}_t = A\Bigg(\dfrac{Z_t}{\hat{S}_{t-s}}\Bigg) + (1-A)(\bar{Z}_{t-1} + \hat{T}_{t-1}), \quad 0 \textless A \textless 1,$$
$$\hat{T}_t = C(\bar{Z}_t - \bar{Z}_{t-1}) + (1-C)\hat{T}_{t-1}, \quad, 0 \textless C \textless 1,$$
que representam estimativas do fator sazonal, do nível e da tendência, respectivamente; onde A, C e D são as constantes de suavização.
Uma previsão de h passos a frente utilizando o modelo Multiplicativo pode ser encontrado através da seguinte fórmula
$$\hat{Z}(h) = (\bar{Z}_t + h\hat{T}_t)\hat{S}_{t+h-p}, \quad h= 1, 2, \dots , p,$$
$$\hat{Z}(h) = (\bar{Z}_t + h\hat{T}_t)\hat{S}_{t+h-2p}, \quad h= p+1, \dots , 2p,$$
$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$
onde $\bar{Z}_t$, $\hat{S}_t$ e $\hat{T}_t$ são dadas pelas equações acima. Para atualizarmos as previsões quando temos uma nova observação $Z_{t+1}$ basta fazermos os mesmos procedimentos com a nova observação e voltando um passo na previsão, ou seja
$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = (\bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1})\hat{S}_{t+1+h-p}, \quad h= 1, 2, \dots , p+1,$$
$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = (\bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1})\hat{S}_{t+1+h-2p}, \quad h= p+2, \dots , 2p+1,$$
Para um valor inicial das equações de recorrência, utilizamos as seguintes fórmulas
$$\hat{S}_j = \dfrac{Z_j}{(\dfrac{1}{p})\sum_{k=1}^{p}Z_k}, \quad j = 1,2,\dots , p; \quad \quad \bar{Z}_p = \dfrac{1}{p}\sum_{k=1}^pZ_k; \quad \quad \hat{T}_p = 0.$$
Neste caso, a série é composta por
$$Z_t = \mu_t + T_t + S_t + a_t $$
E portanto, podemos calcular as equações de suavização por
$$\hat{S}_t = D(Z_t - \bat{Z}_t) + (1-D)\hat{S}_{t-s} , \quad 0 \textless D \textless 1,$$
$$\bar{Z}_t = A(Z_t - \hat{S}_{t-s}) + (1-A)(\bar{Z}_{t-1} + \hat{T}_{t-1}), \quad 0 \textless A \textless 1,$$
$$\hat{T}_t = C(\bar{Z}_t - \bar{Z}_{t-1}) + (1-C)\hat{T}_{t-1}, \quad 0 \textless C \textless 1.$$
que representam a estimativa do fator sazonal, do nível e da tendência, respectivamente, onde A, C e D são as constantes de suavização.
Uma previsão de h passos a frente pode ser feita através das equações
$$\hat{Z}_t(h) = \bar{Z}_t + h\hat{T}_t + \hat{S}_{t+h-p}, \quad h = 1,2,\dots p,$$
$$\hat{Z}_t(h) = \bar{Z}_t + h\hat{T}_t + \hat{S}_{t+h-2p}, \quad h = p+1,\dots 2p,$$
$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$
Se obtemos uma nova observação $Z_{t+1}$ podemos atualizar a previsão de $Z_{t+h}$ recalculando as equações de recorrência para o ponto t+1, ou seja
$$\hat{S}_{t+1} = D(Z_{t+1} - \bat{Z}_{t+1}) + (1-D)\hat{S}_{t+1-s}$$
$$\bar{Z}_{t+1} = A(Z_{t+1} - \hat{S}_{t+1-s}) + (1-A)(\bar{Z}_{t} + \hat{T}_{t}),$$
$$\hat{T}_{t+1} = C(\bar{Z}_{t+1} - \bar{Z}_{t}) + (1-C)\hat{T}_{t}.$$
e assim, a nova previsão para $Z_{t+h}$ será
$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = \bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1} + \hat{S}_{t+1+h-p}, \quad h = 1,2,\dots p+1,$$
$$\hat{Z}_{t+1}(h-1) = \bar{Z}_{t+1} + (h-1)\hat{T}_{t+1} + \hat{S}_{t+1+h-2p}, \quad h = p+2,\dots 2p+1,$$
$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$
Considere a mesma série temporal do exemplo 3.2.1, vamos tentar prever o número de passageiros na linha aérea para os próximos três anos, isso é 36 passos à frente.
Ano/Mes | Jan | Fev | Mar | Abr | Mai | Jun | Jul | Ago | Set | out | Nov | Dez |
1949 | 112 | 118 | 132 | 129 | 121 | 135 | 148 | 148 | 136 | 119 | 104 | 118 |
1950 | 115 | 126 | 141 | 135 | 125 | 149 | 170 | 170 | 158 | 133 | 114 | 140 |
1951 | 145 | 150 | 178 | 163 | 172 | 178 | 199 | 199 | 184 | 162 | 146 | 166 |
1952 | 171 | 180 | 193 | 181 | 183 | 218 | 230 | 242 | 209 | 191 | 172 | 194 |
1953 | 196 | 196 | 236 | 235 | 229 | 243 | 264 | 272 | 237 | 211 | 180 | 201 |
1954 | 204 | 188 | 235 | 227 | 234 | 264 | 302 | 293 | 259 | 229 | 203 | 229 |
1955 | 242 | 233 | 267 | 269 | 270 | 315 | 364 | 347 | 312 | 274 | 237 | 278 |
1956 | 284 | 277 | 317 | 313 | 318 | 374 | 413 | 405 | 355 | 306 | 271 | 306 |
1957 | 315 | 301 | 356 | 348 | 355 | 422 | 465 | 467 | 404 | 347 | 305 | 336 |
1958 | 340 | 318 | 362 | 348 | 363 | 435 | 491 | 505 | 404 | 359 | 310 | 337 |
1959 | 360 | 342 | 406 | 396 | 420 | 472 | 548 | 559 | 463 | 407 | 362 | 405 |
1960 | 417 | 391 | 419 | 461 | 472 | 535 | 622 | 606 | 508 | 461 | 390 | 432 |
Assim, utilizando o para efetuar os cálculos, obtemos os resultados:
Neste caso, o comprimento sazonal é k = 12. Como esta série tem um comportamento sazonal e tendência bastante evidente, torna-se um caso ótimo para previsão utilizando a suavização de HW.
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