4.1 - Modelos Autorregressivos (AR)

Dizemos que $ {X_t, t \in Z} $ é um processo autorregressivo de ordem p e escrevemos $ X_t \sim AR(p) $ se podemos escrever o processo na seguinte forma

$$X_t = \phi_0 + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \varepsilon_t$$

onde $ \phi_0, \phi_1, \dots , \phi_p $ são parâmetros reais e $ \varepsilon_t $ é i.i.d. com $ E(\varepsilon_t) = 0 $ e $ Var(\varepsilon_t) = \sigma^2 $.

Um caso particular simples de grande importância é o processo autorregressivo de ordem p = 1, AR(1)

$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$$

Fazendo substituições sucessivas, $ X_{t-1}, X_{t-2} $, etc, na equação acima obtemos

$$X_t = \varepsilon_t + \phi\varepsilon_{t-1} + \phi^2\varepsilon_{t-2} + \hdots = \sum_{j=0}^{\infty} \phi^j\varepsilon_{t-j} \hspace{6.0cm} (4.11)$$

onde a convergência é em média quadrática. Logo, a condição $ |\phi| \textless 1 $ é suficiente para que $ X_t $ seja estácionario.

Podemos calcular a função de autocovariância (f.a.c.v.) multiplicando ambos os lados de (4.11) por $ X_{t-\tau} $ e tomando a esperança

$$E(X_tX_{t-\tau}) = \phi E(X_{t-1}E_{t-\tau}) + \phi^2E(X_{t-2}X_{t-\tau}) + \hdots + \phi^pE(X_{t-p}X_{t - \tau}) + E(\varepsilon_tX_{t-\tau})$$

$$\gamma _{\tau} = \phi\gamma_{\tau-1} = \hdots = \phi^{\tau}\gamma_0$$

mas, sabemos que

$$\gamma_0 = \sigma^2_X = \sigma^2\sum^{\infnty}_{j=0}\phi^{2j} = \dfrac{\sigma^2}{1 - \phi^2}$$

portanto, segue que

$$\gamma_{\tau} = \dfrac{\sigma^2}{1 - \phi^2}\phi^{|\tau|} , \quad \tau \in Z$$

Assim, a partir da função de autocovariância podemos calcular também a função de autocorrelação (f.a.c.)

$$\rho_{\tau} = \dfrac{\gamma_{\tau}}{\gamma_0} = \phi^{|\tau|}, \quad \tau \in Z$$

No caso geral, podemos calcular as funções de autocovariância e autocorrelação por

$$\gamma_j = \phi_1\gamma_{j-1} + \phi_2\gamma_{j-2} + \hdots + \phi_p\gamma_{j-p}, \quad j \textgreater 0 $$

$$\rho_j = \phi_1\rho_{j-1} + \phi_2\rho_{j-2} + \hdots + \phi_p\rho_{j-p}, \quad j \textgreater 0, \quad \quad (4.12)$$

respectivamente.

Se fizermos j = 1, 2, ... , p, em (4.12) obtemos

$$\rho_1 = \phi_1 + \phi_2\rho_2 + \hdots + \phi_p\rho_{p-1}$$

$$\rho_2 = \phi_1\rho_1 + \rho_2 + \hdots + \phi_p\rho_{p-2}$$

$$\vdots \quad = \quad \vdots$$

$$\rho_p = \phi_1\rho_{p-1} + \phi_2\rho_{p-2} + \hdots + \phi_p$$

que é um método recursivo para calcular as autocorrelações, conhecidas como equações de Yule-Walker.

Exemplo 4.1.1:

Considere um modelo AR(1), com $ \phi = 0,7 $. Como $ -1 \textless \phi \textless 1 $ temos que o modelo satisfaz as condições de estacionariedade. Calculando a função de autocorrelação temos

$$\rho_j = \phi\rho_{j-1} = \phi^j, \quad j \ge 0.$$

Então, a função de autocorrelação decai exponencialmente, com valores todos positivos.  Se $ \phi = 0,7 $, $ \rho_j = (0,7)^j $, $ j \ge 0 $, a função de auto correlação decairia exponencialmente para zero.

Como conhecemos $ \phi $ podemos calcular os $ \rho_j $ exatamente, mas normalmente precisamos estimar os valores de $ \phi $ e obtermos estimativas $ r_j $ para os valores da f.a.c

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ \rho_j $ 1,00 0,70 0,49 0,34 0,24 0,17 0,12 0,08 0,06 0,04 0,03
$ r_j $ 1,00 0,71 0,41 0,36 0,20 0,10 -0,09 -0,12 -0,04 -0,11 -0,16

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