4.2 - Modelos de Médias Móveis (MA)

Considere um processo linear $\{X_t, t \in Z\}$, dizemos que este processo é de médias móveis de ordem q, denotado por MA(q), se satisfizer a equação de diferenças

$$X_t = a_t - \theta_1 a_{t-1} - \hdots - \theta_q a_{t-q}$$

onde $\mu, \theta_1, \dots , \theta_q$ são constantes reais, $a_t$ é i.i.d. e $a_t \sim N(0,\sigma^2)$.

Segue que $X_t$ é  estacionário, de média $\mu$. Suponha que $\mu = 0$,  calculando a função de autocovariância(f.a.c.v.) do processo obtemos

$$\gamma_j = E(X_tX_{t-j}) = E\Bigg\{\Bigg[a_t - \sum_{k=1}^q \theta_k a_{t-k} \Bigg] \Bigg[ a_{t-j} - \sum_{l=1}^q \theta_l a_{t-l-j} \Bigg[\Bigg\}$$

$$\gamma_j = E(a_ta_{t-j}) - \sum_{k=1}^q E(a_{t-j}a_{t-k}) - \sum_{l=1}^q E(a_t a_{t-j-l}) + \sum_{k=1}^q\sum_{l=1}^q \theta_k \theta_l E(a_{t-l}a_{t-j-l})$$

Como os $a_t$ são não correlacionados, temos

$$\gamma_a(j) = E(a_t a_{t-j}) = \left\{ \begin{array} \ \sigma_a^2, \quad j = 0, \\ \ 0, \quad j \not= 0 \end{array} \right$$

$$\gamma_0 = Var(X_t) = \sigma_X^2 = \sigma^2(1 + \theta_1^2 + \hdots + \theta_q^2)$$

Então,

$$ \gamma_j = \gamma_a(j) - \sum_{k=1}^q \gamma_a(k-j) - \sum_{l=1}^q \gamma_a(j+l) + \sum_{k=1}^q\sum_{l=1}^q \theta_k \theta_l E(a_{t-l}a_{t-j-l})\gamma_a(j+l+k) $$

Portanto, a f.a.c.v. pode ser definida como

$$\gamma_j = \left\{\begin{array} \ \sigma_a^2\Bigg( \theta_j + \sum_{l=1}^{q-l} \theta_l \theta_{j+l}\Bigg)\hspace{2cm} ,j = 0, \\ \sigma_a^2(\theta_j + \theta_1 \theta_{j+1} + \theta_2 \theta_{j+2} + \cdots + \theta_q \theta_{q-j}) \quad ,j = 1, \dots , q, \\ \ 0 \hspace{5.4cm} ,j \ \textgreater \ q. \end{array} \right$$

Assim, a partir da f.a.c.v. obetmos a f.a.c

$$\rho_j = \dfrac{\gamma_j}{\gamma_0} = \left\{\begin{array} \ \dfrac{\theta_j + \theta_1 \theta_{j+1} + \theta_2 \theta_{j+2} + \cdots + \theta_q \theta_{q-j}}{1+\theta_1^2 + \theta_2^2 + \cdots + \theta_q^2} \quad, j = 1, \dtos , q, \\ \ 0 \hspace{5.2cm} , q \ \textgreater \ q. \end{array} \right$$

Exemplo 4.2.1:

Considere a série simulada com 50 observações, geradas de acordo com um processo MA(2): $X_t = a_t + 0,63a_{t-1} + 0,2a_{t-2}$ e $\sigma^2_a = 1$. Os dados deste exemplo podem ser obtidos clicando aqui.

Podemos calcular as f.a.c.v. e f.a.c. exatas por

$$\gamma_0 = (1 + \theta_1^2 + \theta_2^2)\sigma_a^2 = (1 + (0,63)^2 + (0,2)^2)1 = 1,437$$

$$\rho_1 = \dfrac{\theta_1(1 + \theta_2)}{1+\theta_1^2 + \theta_2^2} = \dfrac{0,63(1 - 0,2)}{1+0,63^2 + (0,2)^2} = 0,526;$$

$$\rho_2 = \dfrac{\theta_2}{1+\theta_1^2 + \theta_2^2} = \dfrac{0,2}{1+(0,63)^2+(0,2)^2} = 0,139;$$

$$\rho_j = 0, \quad j=3,4,5, \dots$$