4.3 - Modelos Autorregressivos e de Médias Móveis

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Modelos autorregressivos e de médias móveis é a junção dos modelos AR e MA. Denotamos por ARMA(p,q) um processo autorregressivo e de médias móveis de ordem (p,q) e pode ser representado por

$$X_t = \phi_1X_{t-1} + \cdots \phi_pX_{t-p} + a_t - \theta_1a_{t-1} - \cdots - \theta_qa_{t-q}$$

Um modelo frequentemente utilizado é o ARMA(1,1), ou seja

$$X_t = \phi X_{t-1} + a_t - \theta a_{t-1}$$

No caso geral, calculamos a f.a.c.v. por

$$\gamma_j = \phi_1 \gamma_{j-1} + \phi_2 \gamma_{j-2} + \cdots + \phi_p \gamma_{j-p} +\gamma_{Xa}(j) - \theta_1\gamma_{Xa}(j-1) - \cdots - \theta_q\gamma_{Xa}(j-q)$$

onde $ \gamma_{Xa}(j) $ é a covariância cruzada entre $ X_t $ e $ a_t $, definida por

$$\gamma_{Xa}(j) = \left \{\begin{array} \ = 0, \quad j \ \textgreater \ 0, \\ \not= 0, \quad j \le 0. \end{array} \right$$

Assim, a f.a.c.v. fica

$$\gamma_j = \phi_1\gamma_{j-1} + \phi_2\gamma_{j-2} + \cdots + \phi_p\gamma_{j-p}, \quad j \ \textgreater \ q$$

e a f.a.c. é obtida por

$$\rho_j = \dfrac{\gamma_j}{\gamma_0} = \phi_1\rho_{j-1} + \phi_2\rho_{j-2} + \cdots + \phi_p\rho_{j-p}, \quad j \ \textgreater \ q.$$

Um processo ARMA(p,q) tem f.a.c. infinita, a qual decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas após o "lag" p-q. Essa observação é importante na identificação do modelo aos dados observados.

Exemplo 4.3.1:

Considere um modelo ARMA(2,1) simulado com n = 200, dado por $ X_t = 0,26X_{t-1} + 0,37X_{t-2} + 0,81a_{t-1} + a_t. $ As observações deste modelo podem ser obtidos clicando aqui.

Calculando a função de autocorrelação estimada e teórica temos:

$ \bold{j} $ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ \bold{\rho_j} $ 1,000 0,809 0,580 0,450 0,332 0,253 0,188 0,143 0,107 0,081 0,060
$ \bold{r_j} $ 1,000 0,779 0,519 0,405 0,312 0,195 0,044 -0,028 -0,052 -0,121 -0,187

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