4.3 - Modelos Autorregressivos e de Médias Móveis

Modelos autorregressivos e de médias móveis é a junção dos modelos AR e MA. Denotamos por ARMA(p,q) um processo autorregressivo e de médias móveis de ordem (p,q) e pode ser representado por

$$X_t = \phi_1X_{t-1} + \cdots \phi_pX_{t-p} + a_t - \theta_1a_{t-1} - \cdots - \theta_qa_{t-q}$$

Um modelo frequentemente utilizado é o ARMA(1,1), ou seja

$$X_t = \phi X_{t-1} + a_t - \theta a_{t-1}$$

No caso geral, calculamos a f.a.c.v. por

$$\gamma_j = \phi_1 \gamma_{j-1} + \phi_2 \gamma_{j-2} + \cdots + \phi_p \gamma_{j-p} +\gamma_{Xa}(j) - \theta_1\gamma_{Xa}(j-1) - \cdots - \theta_q\gamma_{Xa}(j-q)$$

onde $\gamma_{Xa}(j)$ é a covariância cruzada entre $X_t$ e $a_t$, definida por

$$\gamma_{Xa}(j) = \left \{\begin{array} \ = 0, \quad j \ \textgreater \ 0, \\ \not= 0, \quad j \le 0. \end{array} \right$$

Assim, a f.a.c.v. fica

$$\gamma_j = \phi_1\gamma_{j-1} + \phi_2\gamma_{j-2} + \cdots + \phi_p\gamma_{j-p}, \quad j \ \textgreater \ q$$

e a f.a.c. é obtida por

$$\rho_j = \dfrac{\gamma_j}{\gamma_0} = \phi_1\rho_{j-1} + \phi_2\rho_{j-2} + \cdots + \phi_p\rho_{j-p}, \quad j \ \textgreater \ q.$$

Um processo ARMA(p,q) tem f.a.c. infinita, a qual decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas após o "lag" p-q. Essa observação é importante na identificação do modelo aos dados observados.

Exemplo 4.3.1:

Considere um modelo ARMA(2,1) simulado com n = 200, dado por $X_t = 0,26X_{t-1} + 0,37X_{t-2} + 0,81a_{t-1} + a_t.$ As observações deste modelo podem ser obtidos clicando aqui.

Calculando a função de autocorrelação estimada e teórica temos: