4.5 - Identificação de Modelos ARIMA

A identificação particular de um modelo ARIMA a ser ajustado aos dados pode ser considerado uma das fases mais críticas ao se utilizar uma modelagem ARIMA. A escolha do modelo a ser utilizado é feita principalmente com base nas autocorrelações e autocorrelações parciais estimadas, que utilizaremos para comparar com as quantidades teóricas e identificar um possível modelo para os dados.

Lembramos que a f.a.c. $\rho_j$ é estimada por

$r_j = \dfrac{g_j}{g_0}, \quad j = 0, 1, \dots , N-1$

onde $g_j$ é a estimativa da f.a.c.v. $\gamma_j$ , dado por

$g_j = \dfrac{1}{N}\sum_{t=1}^{N-j} [(X_t - \bar{X})(X_{t+j} - \bar{X})], \quad j = 0,1,\dots , N-1$

sendo $\bar{X} = \dfrac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}X_t$ a média amostral. Como as funções de auto correlação são funções pares, temos que $g_{-j} = g_j$ e $r_{-j} = r_{j}$ .

Os modelos AR(p), MA(q) e ARMA(p,q) apresentam f.a.c. com características especiais:

i) um processo AR(p) tem f.a.c. infinita em extensão que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas;

ii) um processo MA(q) tem f.a.c. finita, no sentido que ela apresenta um corte após a defasagem q;

iii) um processo ARMA(p,q) tem f.a.c. infinita que decai de acordo com exponencias e/ou senoides amortecidas após a defasagem (q-p).

Assim, a partir das f.a.c. estimadas, tentamos identificar um padrão que se comporte teoricamente com algum modelo. Em particular, a f.a.c. estimada é útil para identificar modelos MA por causa da característica (ii) e não são muito úteis na identificação de modelos ARMA, que possuem f.a.c. complicadas.

Função de Autocorrelação Parcial (f.a.c.p.)

Uma outra ferramenta utilizada no processo de identificação do modelo é a função de autocorrelação parcial(f.a.c.p.). Esta medida corresponde a correlação de $X_t$ e $X_{t-k}$ removendo o efeito das observações $X_{t-1}, X_{t-2}, \dots , X_{t-k+1}$ e é denotada por $\phi_{kk}$ , ou seja

$\phi_{kk} = Corr(X_t, X_{t-l}/X_{t-1}, X_{t-2},\hdots,X_{t-k+1})$

Um método geral para encontrar a f.a.c.p. para um processo estacionário com f.a.c. $\rho_k$ é utilizando as equações de Yule-Walker, isto é, para um certo k temos

$\rho_j = \phi_{k1}\rho_{j-1} + \phi{k2}\rho_1 + \cdots + \phi_{kk}\rho{j-1}, \quad j = 1, 2, \hdots , k$

Desenvolvendo a equação temos

$\rho_1 = \phi_{k1} + \phi_{k2}\rho_1 + \cdots + \phi_{kk}\rho_{j-1}$

$\rho_2 = \phi_{k1}\rho_1 + \phi_{k2} + \cdots + \phi_{kk}\rho_{j-2}$

$\quad \vdots \quad = \quad \vdots$

$\rho_j = \phi_{k1}\rho_{j-1} + \phi_{k2}\rho_{j-2} + \cdots + \phi_{kk}$

Resolvendo as equações acima sucessivamente para k = 1, 2, ..., obtemos $\phi_{kk}$ da seguinte maneira

$\phi_{11} = \rho_1$

$\phi_{22} = \dfrac{\Bigg{|} \left \begin{array}{} \ 1 \ \rho_1 \ \\ \ \rho_1 \ \rho_2 \ \end{array} \right \Bigg{|}}{\Bigg{|} \left \begin{array}{} \ 1 \ \rho_1 \ \\ \ \rho_1 \ 1 \ \end{array} \Bigg{|}}$ $\Longrightarrow \quad \phi_{22} = \dfrac{\rho_2 - \rho_1^2}{1 - \rho_1^2}$

$\phi_{33} = \dfrac{\Bigg{|} \left \begin{array}{} \ 1 \ \rho_1 \ \rho_1 \ \\ \ \rho_1 \ 1 \ \rho_2 \ \\ \ \rho_2 \ \rho_1 \ \rho_3 \ \end{array} \right \Bigg{|}}{\Bigg{|} \left \begin{array}{} \ 1 \ \rho_1 \ \rho_2 \ \\ \ \rho_1 \ 1 \ \rho_1 \ \\ \ \rho_2 \ \rho_1 \ 1 \ \end{array} \Bigg{|}}$ $\Longrightarrow \quad \phi_{33} = \dfrac{\rho_3 + \rho_2^2\rho_1 + \rho_1^3 - 2\rho_1\rho_2 - \rho_1^2\rho_3}{1 - 2\rho_1^2 - \rho_2^2}$

em geral temos

$\phi_{kk} = \dfrac{|P^*_k|}{|P_k|}$

onde $P_k$ é a matriz de autocorrelação, e $P^*_k$ é a matriz $P_k$ com a ultima coluna substituída pelo vetor de autocorrelação.

Nos processos AR, MA e ARMA temos as seguintes f.a.c.p. teóricas:

i) em um processo AR(P) a f.a.c.p é da forma: $\left \{ \begin{array} \ \phi_{kk} \not= 0, \quad se \ k \le p \\ \phi_{kk} = 0, \quad se \ k \ \textgreater \ p \end{array} \right$ ;

ii)em um processo MA(q) a f.a.c.p. se comporta de maneira similar à f.a.c. de um processo AR(p), isto é, composta por exponenciais e\ou senoides amortecidas;

iii)um processo ARMA(p,q) tem f.a.c.p. que se comporta como a f.a.c.p. de um processo MA puro.

Devido aos fatores acima, segue que a f.a.c.p. é útil para identificar modelos AR puros, não sendo tão útil para identificar modelos MA e ARMA.

Uma maneira simples de estimar as f.a.c.p. de um processo consistem em substituir nas equações de Yullie-Walker as f.a.c. por sua estimativas

$r_j = \hat{\phi}_{k1}r_{j-1} + \cdots + \hat{\phi}_{kk}r_{j-k}, \quad j=1,\hdots,k,$

e resolver estas equações para k=1, 2, 3,....

Exemplo 4.5.1:

Observe na tabela abaixo uma estimativa das f.a.c.p. dos processos AR(1), MA(1) e ARMA(1,1), de séries temporais simuladas computacionalmente com 100 observações cada.

j	AR(1)	MA(1)	ARMA(1,1)
1	-0,4514	0,3828	-0,0187
2	-0,0640	-0,2738	-0,0833
3	-0,0460	-0,0710	-0,1950
4	-0,0305	-0,1540	0,1094
5	0,0144	-0,0599	-0,0949
6	-0,0425	-0,0412	0,0537
7	0,0939	-0,0412	0,0708
8	-0,0470	-0,1616	-0,1851
9	-0,0256	0,0528	0,1552
10	0,0080	-0,0296	0,0474
11	-0,0754	-0,0305	-0,1351
12	0,0846	-0,1096	-0,0056
13	0,0457	-0,0883	0,0532
14	0,0330	0,0115	-0,0495
15	-0,0132	0,0761	0,0547

Representadas graficamente por:

Critérios de informação AIC e BIC

Após selecionarmos possíveis modelos ARIMA para os dados observados, identificamos o melhor modelo possível utilizando os critérios AIC e BIC. Queremos encontrar as ordens k e l que minimizam os critérios AIC e BIC para a determinação das ordens p e q do modelo, isto é, queremos minimizar

$AIC(k,l) = -2ln(\hat{\sigma}^2_{k,l}) + 2(k+l+2)$

$BIC(k,l) = -2ln(\hat{\sigma}^2_{k,l}) + (k+l)\dfrac{lnN}{N}$

onde, N é o número de observações e $\hat{\sigma}_{k,l}^2$ é o estimador de máxima verossimilhança da variância residual do modelo ARMA(k,l).

Exemplo 4.5.2:

Considere os retornos das ações da Petrobras durante o período de 10/01/2008 a 10/02/2008. Construímos uma série temporal utilizando a média dos retornos em cada hora por dia, com um total de 110 observações. Vamos identificar um modelo ARIMA para esta série. Os dados para este exemplo podem ser baixados clicando aqui.

j	$X_j$	j	$X_j$	j	$X_j$	j	$X_j$	j	$X_j$
1	-0,0012	23	0,0004	45	-0,0011	67	0,0106	89	-0,0036
2	0,0006	24	-0,0035	46	-0,0149	68	-0,0025	90	0,0001
3	-0,0059	25	0,0019	47	0,0003	69	0,0058	91	-0,0030
4	-0,0054	26	-0,0107	48	0,0012	70	-0,0088	92	-0,0020
5	-0,0039	27	0,0042	49	-0,0148	71	-0,0053	93	-0,0154
6	-0,0222	28	0,0030	50	0,0006	72	-0,0242	94	0,0090
7	-0,0017	29	-0,0150	51	0,0136	73	-0,0089	95	0,0083
8	0,0096	30	-0,0215	52	-0,0152	74	-0,0133	96	0,0035
9	0,0102	31	-0,0029	53	-0,0113	75	-0,0075	97	-0,0038
10	-0,0068	32	-0,0575	54	0,0037	76	-0,0037	98	-0,0025
11	0,0105	33	0,0045	55	0,0282	77	0,0065	99	0,0342
12	0,0100	34	-0,0043	56	-0,0008	78	-0,0107	100	-0,0043
13	0,0079	35	-0,0077	57	-0,0192	79	-0,0017	101	0,0567
14	0,0069	36	0,0186	58	0,0060	80	-0,0064	102	0,0033
15	0,0097	37	0,0039	59	0,0077	81	0,0120	103	0,0012
16	-0,0009	38	0,0269	60	-0,0092	82	0,0021	104	0,0053
17	-0,0056	39	-0,0101	61	-0,0010	83	-0,0031	105	0,0066
18	-0,0011	40	-0,0010	62	-0,0003	84	-0,0047	106	-0,0082
19	-0,0035	41	0,0043	63	0,0048	85	0,0014	107	0,0192
20	-0,0313	42	0,0099	64	-0,0017	86	-0,0022	108	0,0020
21	0,0094	43	0,0003	65	0,0008	87	-0,0008	109	0,0122
22	-0,0045	44	0,0022	66	-0,0023	88	0,0090	110	0,0032

Visualizando o gráfico da série, podemos identificar alguns pequenos ciclos repetitivos o que torna a série não estacionária e analisando a f.a.c. estimada da série não conseguimos identificar um modelo apropriado para o ajuste, então tomamos uma diferença na série e analisamos novamente as f.a.c. e f.a.c.p estimadas.

A análise das f.a.c. e f.a.c.p. estimadas sugerem um modelo de médias móveis MA(p) na série diferenciada. Calculamos então os critérios de informação AIC e BIC para confirmar um modelo do tipo ARIMA(0,1,p).

p	AIC	BIC
1	*-637,4155*	*-632,0145*
2	-635,4466	-627,3451
3	-633,7607	-622,9587
4	-632,4030	-618,9006
5	-630,6355	-614,4326
6	-628,6938	-609,7904
7	-627,4892	-605,8854
8	-627,2289	-602,9245
9	-627,2354	-600,2306
10	-626,7906	-597,0853

Note que entre as 10 primeiras ordens o menor valor entre os critérios é para ordem p = 1, portanto, concluímos que um modelos ideal para o conjunto de dados é um ARIMA(0,1,1).

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4.5 - Identificação de Modelos ARIMA