4.7.1 - Teste de Box - Pierce

Box e Pierce sugeriram um teste para as auto correlações dos resíduos estimados, o qual indica se estes valores estão muito altos.

As hipóteses do teste são

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \text{Os resíduos são i.i.d.;}\\H_1: \text{Os resíduos não são i.i.d.}.\end{array}\right.\]

Inicialmente, calculamos uma estimativa para as auto correlações por

$$\hat{r}_k = \dfrac{\sum^n_{t = k+1} \hat{a}_t \hat{a}_{t-k}}{\sum^n_{t=1} \hat{a}^2_t}$$

é possível mostrar que $\hat{r}_k \sim N(0, \dfrac{1}{n})$.

Se o modelo for apropriado, a estatística do teste

$$Q(k) = n \sum^K_{j=1} \hat{r}^2_j$$

terá aproximadamente uma distribuição $\chi^2$ com K graus de liberdade, onde K é o número de defasagens tomada na função de autocorrelação. Portanto, rejeitamos a hipótese nula se $Q \textgreater \chi^2_{1 - \alpha, k$ com um nível de significância $\alpha$.