Ljung e Box propuseram uma pequena alteração no teste de Box - Pierce, na qual torna o teste mais generalizado. Foi observado na literatura que o teste de Ljung - Box apresenta melhores resultados do que o teste de Box - Pierce.

As hipóteses do teste são as mesmas:

\text{Os resíduos não são i.i.d..}\end{array}\right.\]

Calculamos as estimativas de autocorrelações por


$$\hat{r}_k = \dfrac{\sum^n_{t = k+1} \hat{a}_t \hat{a}_{t-k}}{\sum^n_{t=1} \hat{a}^2_t}.$$

É possível mostrar que $ \hat{r}_k \sim N(0, \dfrac{1}{n}) $.

Se o modelo for apropriado, a estatística do teste


$$Q(k) = n(n-2) \sum^K_{j=1} \dfrac{\hat{r}^2_j}{(n-j)}$$

terá aproximadamente uma distribuição $ \chi^2 $ com (K - p - q) graus de liberdade, onde K é o número de defasagens tomada na função de autocorrelação, p e q são as ordens do modelo ajustado. Portanto, rejeitamos a hipótese nula se $ Q \textgreater \chi^2_{1 - \alpha, k-p-q $ com um nível de significância $ \alpha $.

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