Estamos interessados em prever um valor $X_{t+h}, h \ge 1$, supondo que temos todas as observações até o instante t, isto é, $...,X _{t-2}, X_{t-1}, X_t$, dizemos que t é a origem das previsões.

Denotamos por $\hat{X}_t(h)$ a previsão de h passos a partir da origem t. Vamos supor um modelo ARIMA(p,d,q), estacionário, invertível e com os parâmetros conhecidos. Nestas situações, temos 3 possíveis formas de previsão:

(i) forma de equação de diferenças

$$X_{t+h} = \phi_1X_{t+h-1} + \cdots + \phi_{p+d}X_{t+h-p-d} - \theta_1a_{t+h-1} - \theta_{2}a_t+h-2} - \cdots - \theta_qX_{t+h-q} + a_{t+h};$$

(ii) forma de choques aleatórios

$$X_{t+h} = \sum_{j = -\infty}^{t+h} \psi_{t+h-j}a_j = \sum_{j = 0}^{\infty} \psi_ja_{t+h-j},$$

onde $\psi_o = 1$ e os demais pesos são obtidos resolvendo um sistema de operadores de retardos dado por $\phi(B)\psi(B) = \theta(B)$;

(iii) forma invertida

$$X_{t+h} = \sum_{j=1}^{\infty} \pi_jX_{t+h-j} + a_{t+h},$$

onde os pesos $\pi_j$ são obtidos resolvendo o sistema de operadores de retardos dado por $\phi(B) = \theta(B)\pi(B)$.

Previsão do erro quadrático médio (EQM) mínimo

Dado que $\hat{X}_t(h)}$ é uma função das observações passadas até o instante t, consequentemente, por (ii), $\hat{X}_t(h)$ é uma função de $a_t, a_{t-1}, \hdots$. Supondo que $\hat{X}_t(h)$ é uma função linear, uma forma de previsão é dada por

$$\hat{X}_t(h) = \psi^*_ha_t + \psi^*_{h+1}a_{t-1} + \phi^*_{h+2}a_{t-2} + \cdots$$

desta forma, queremos encontrar os pesos $\psi^*_j$ que minimize o EQM de previsão. Calculando o EQM através do erro de previsão $e_t(h)$ temos

$$E[e_t(h)]^2 = E[X_{t+h} - \hat{X}_t(h)]^2 = E\Bigg[ \sum_{j = 0}^{\infty} \psi_ja_{t+h-j} - \sum_{j=0}^{\infty} \psi_{h+j}^*a_{t-j} \Bigg]^2$$

$$ \Longrightarrow E[e_t(h)]^2 = E\Bigg[ \psi_0a_{t+h} + psi_1a_{t+h+1} + \cdots + \psi_{h=1}a_{t+1} + \sum_{j = 0}^{\infty}(\psi_{h+j} - \psi_{h+j}^*)a_{t-j}\Bigg]^2$$

$$\Longrightarrow E[e_t(h)]^2 = (1 + \psi_1^2 + \cdots + \psi_{h-1}^2)\sigma_a^2 + \sum_{j = 0}^{\infty}(\psi_{h+j} - \psi_{h+j}^*)^2\sigma^2_a,$$

devido ao fato de que os $a_t$ são não correlacionados. Segue que o EQM será mínimo quando $\psi^*_{h+j} = \psi_{h+j}, j = 1,2,...,h$ fixo.

Portanto, a previsão com EQM mínimo é dado por

$$X_t(h) = \psi_ha_{t} + \psi_{h+1}a_{t-1} + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_{h+j}a_{t-j}$$

e o erro de previsão por

$$e_t(h) = a_{t+h} + \psi_{h+1}a_{t+h-1} + \cdots + \psi_{h-1}a_{t+1} = \sum_{j=0}^{h-1} \psi_ja_{t+h-j}.$$

Como consequência dos resultados acima, podemos notar que

$$X_{t+h} = \hat{X}_t(h) + e_t(h), \quad h \ge 1.$$

Para facilitar, vamos utilizar a notação

$$[X_{t+h}] = E[X_{t+h} | X_t, X_{t-1}, ...]$$

Utilizando a notação acima, temos as seguintes conclusões:

(i) $[e_t(h)] = 0$ e a variância do erro de previsão é $Var(h) = (1 + \psi_1^2 + \psi_2^2 + \cdots + \psi_{h-1}^2)\sigma_a^2.$

(ii) $[X_{t+h}] = \left\{\begin{array}{l} \hat{X}_t(h), \ \ \hbox{se} \ k \ \textgreater \ 0 \\ X_{t+k}, \quad \hbox{se} \ k \le 0 \end{array} \right.$

(iii) $[a_{t+h}] = \left\{\begin{array}{l} 0, \quad \quad \ \ \ \hbox{se} \ k \ \textgreater \ 0 \\ a_{t+k}, \ \quad \hbox{ se} \ k \le 0 \end{array} \right.$

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