4.8.2 - Equação de Previsão

Supomos um modelo ARIMA(p,d,q) estacionário, inversível e com os parâmetros conhecidos, então a equação de previsão, considerada como uma função de h, com origem t fixa é dada por

$$\hat{X}_t(h) = \sum_{i = 1}^{p+q} \phi_i\hat{X}_t(h-1), \quad h \ \textgreater \ q$$

Temos que para $h \ \textgreater \ q-p-d$, a função $\hat{X}_t(h)$ consistirá de uma mistura de polinômios, exponenciais e senóides amortecidades, com sua forma exata determinada pelas raízes do operador de retardo $\phi(B) = 0$. A solução geral terá a forma

$$\hat{X}_t(h) = c_1^{(t)}f_1(h) + c_2^{(t)}f_2(h) + \cdots + c_{p+q}^{(t)}f_{p+q}(h), \quad h \ \textgreater \ q-p-d$$

onde $f_i(h), h=1,\hdots,p+q$, são funções de h e $c_1^{(t)},\hdots,c_{p+q}^{(t)}$ são coeficientes adaptados que dependem da origem da previsão e são determinados por $\hat{X}_t(1), \hat{X}_t(2),\hdots, \hat{X}_t(p+d)$.

Exemplo 4.8.2.1:

Supomos um modelo ARIMA(0,1,2) com a presença do intercepto $\theta_0$. Escrevendo na forma do operador de retardo temos

$$(1-B)X_t = \theta_0 + (1 - \theta_1B - \theta_2B^2)a_t \ \ \Longleftrightarrow \ \ X_t = \theta_0 + X_{t-1} - a_t - \theta_1a_{t-1} - \theta_2a_{t-2}$$

substituindo t por t+h temos

$$X_{t+h} = \theta_0 + X_{t+h-1} -a_{t+h} - \theta_1a_{t+h-1} - \theta_2a_{t+h-2}$$

assim,

$$\hat{X}_t(1) = [X_{t+1}] = \theta_0 + X_t - \theta_1a_t - \theta_2a_{t-1}$$

$$\hat{X}_t(2) = [X_{t+2}] = \theta_0 + \hat{X}_t(1) - \theta_2a_{t} = 2\theta_0 + X_t - (\theta_1 + \theta_2)a_t - \theta_2a_{t-1}$$

$$\hat{X}_t(3) = [X_{t+3}] = \theta_0 + \hat{X}_t(2) = 3\theta_0 + X_t - (\theta_1 + \theta_2)a_t - \theta_2a_{t-1}$$

em geral,

$$\hat{X}_t(h) = [X_{t+h}] = X_t + h\theta_0 - (\theta_1 + \theta_2)a_t - \theta_2a_{t-1}.$$