4.8.3 - Atualização das Previsões

Considere as previsões de $ X_{t+h+1} $ feitas a partir de duas origens

(i)  \hat{X}_{t+1}(h) = \psi_ha_{t+1} + \psi_{h+1}a_t + \psi_{h+2}a_{t-1} + \cdots $

(ii)  \hat{X}_t(h+1) = \psi_{h+1}a_t + \psi_{h+2}a_{t-1} + \cdots $

Subtraindo (ii) de (i) obtemos

$$\hat{X}_{t+1}(h) = \hat{X}_t(h+1) + \psi_ha_{t+1}$$

Desta forma, a previsão de $ X_{t+h+1} $, feita no instante t, pode ser atualizada quando um novo dado $ X_{t+1} $ for observado. Assim, faremos a previsão de $ X_{t+h+1} $, na origem t+1, adicionando à previsão $ \hat{X}(h+1) $ um múltiplo do erro de previsão $ a_{t+1} = X_{t+1} - \hat{X}_t(1) $. Para melhor compreensão, vamos analisar um exemplo.

Exemplo 4.8.3.1:

Seja $ X_t $ um processo AR(2), então

$$X_t = \phi_1X_{t-1} + \phi_2X_{t-2} + a_t$$

no instante (t+h) o valor da série é

$$X_{t+h} = \phi_1X_{t+h-1} + \phi_2X_{t+h-1} + a_{t+h}$$

fazendo a previsão a partir da origem t, temos

$$\hat{X}_t(h) = \phi_1\hat{X}_t(h-1) + \phi_2\hat{X}_t(h-2), \quad h \ \textgreater \ 0$$

$$\hat{X}_t(h) = \phi_1^h\hat{X}_t(0) + \phi_2^{h}\hat{X}_{t-1}(0), \quad h \ \textgreater \ 0$$

analogamente, fazendo a previsão da origem (t-1), temos

$$\hat{X}_{t-1}(h+1) = \phi_1\hat{X}_{t-1}(h) + \phi_2\hat{X}_{t-1}(h-1), \quad h \ \textgreater \ 0$$

$$\hat{X}_{t-1}(h+1) = \phi_1^h\hat{X}_{t-1}(1) + \phi_2^{h}\hat{X}_{t-2}(1), \quad h \ \textgreater \ 0$$

subtraindo $ \hat{X}_{t-1}(h+1) $ de $ \hat{X}_t(h) $,

$$\hat{X}_t(h) - \hat{X}_{t-1}(h+1) = \phi_1^h\hat{X}_t(0) + \phi_2^{h}\hat{X}_{t-1}(0) - \phi_1^h\hat{X}_{t-1}(1) - \phi_2^{h}\hat{X}_{t-2}(1)$$

$$\hat{X}_t(h) - \hat{X}_{t-1}(h+1) = \phi_1^h[X_t - \hat{X}_{t-1}(1)] + \phi_2^{h}[X_{t-1} - \hat{X}_{t-2}(1)]$$

mas, sabemos que

$$a_t = X_t - \hat{X}_{t-1}(1)$$

$$a_{t-1} = X_{t-1} - \hat{X}_{t-2}(1)$$

então, substituindo temos que a previsão atualizada será dada por

$$\hat{X}_t(h) - \hat{X}_{t-1}(h+1) = \phi_1^ha_t + \phi_2^{h}a_{t-1}$$

$$\hat{X}_t(h) = \hat{X}_{t-1}(h+1) + \phi_1^ha_t + \phi_2^{h}a_{t-1}.$$

 

Exemplo 4.8.3.2:

Considerem um modelo ARIMA(2,0,0) com n = 105 observações, vamos calcular as 3 primeiras estimativas baseado nas observações já ajustadas da tabela abaixo

t $ \bold{X_t} $ t $ \bold{X_t} $ t $ \bold{X_t} $ t $ \bold{X_t} $ t $ \bold{X_t} $
1 -0,255 21 -0,289 41 0,225 61 0,334 81 0,167
2 -0,409 22 -1,190 42 -0,926 62 -1,282 82 -1,547
3 -2,196 23 -2,473 43 -1,670 63 -1,092 83 -1,187
4 -1,942 24 -2,306 44 -2,361 64 -2,315 84 -1,201
5 -1,284 25 -1,873 45 -1,867 65 -1,372 85 -0,710
6 -0,352 26 -0,433 46 0,194 66 0,753 86 1,298
7 1,940 27 1,774 47 1,928 67 2,829 87 3,250
8 3,062 28 2,813 48 4,287 68 3,148 88 2,952
9 2,655 29 2,798 49 3,465 69 3,470 89 3,150
10 2,916 30 1,955 50 2,405 70 2,007 90 2,530
11 2,551 31 2,198 51 2,717 71 2,370 91 2,017
12 1,373 32 0,434 52 0,988 72 1,669 92 2,119
13 2,066 33 1,875 53 2,135 73 1,406 93 0,365
14 2,225 34 1,366 54 0,968 74 1,106 94 0,812
15 0,925 35 1,703 55 2,107 75 2,165 95 2,408
16 1,833 36 2,486 56 2,294 76 1,814 96 1,995
17 2,765 37 1,493 57 1,270 77 1,106 97 1,415
18 2,203 38 1,507 58 1,660 78 2,500 98 2,762
19 1,536 39 1,754 59 2,005 79 2,141 99 2,183
20 2,905 40 3,241 60 3,832 80 4,490 100 4,150

 O ajuste do modelo ARIMA(2,0,0) com intercepto temos:

$$X_t = 1,28 + 0,35X_{t-1} + 0,54X_{t-2} + a_t$$

segue que,

$$X_{t+h} = 1,28 + 0,35X_{t+h-1} + 0,54X_{t+h-2} + a_{t+h}$$

$$\hat{X}_t(h) = 1,28 + 0,35\hat{X}_t(h-1) + 0,54\hat{X}_t(h-2)$$

portanto, as 3 primeiras previsões a partir de t = 100 são dadas por

$$\hat{X}_{100}(1) = 1,28 + 0,35X_{100} + 0,54X_{99} = 5,27$$

$$\hat{X}_{100}(2) = 1,28 + 0,35\hat{X}_{100}(1) + 0,54X_{100} = 3,90$$

$$\hat{X}_{100}(3) = 1,28 + 0,35\hat{X}_{100}(2) + 0,54\hat{X}_{100}(1) = 4,62$$

A partir do momento em que temos o valor $ X_{101} $ podemos atualizar as previsões. Dado que $ X_{101} = 5,41 $ temos

$$a_{101} = X_{101} - \hat{X}_{100}(1) = 5,41 - 5,27 = 0,14.$$

Para a atualização, precisamos calcular os pesos $ \psi_j, j =1,2,...,5 $. Sabemos que devemos ter

$$\phi(B)\psi(B) = \theta(B)$$

ou seja,

$$(1 - 0,35B - 0,54B^2)(1 + \psi_1B + \psi_2B^2 + \cdots) = 1$$

é fácil ver que

$$\psi_1 = 0,35$$

$$\psi_2 = 0,35\psi_1 - 0,54 = -0,4175$$

$$\psi_3 = \psi_1\psi_2 - 0,54\psi_1 = -0,3351$$

desta forma,

$$\hat{X}_{101}(1) = \hat{X}_{100}(2) + \psi_1a_{101} = 3,90 + 0,35 \ast 0,14 = 3,95$$

$$\hat{X}_{101}(2) = \hat{X}_{100}(3) + \psi_2a_{101} = 4,62 - 0,4175 \ast 0,14 = 4,56$$

Exemplo 4.8.3.3:

Considere o modelo ARIMA(0,1,2) dado por $ X_t = X_{t-1} - a_t - 0,17a_{t-1} - 0,62a_{t-2} $. Vamos calcular uma previsão para este modelo utilizando os dados da tabela abaixo:

t $ \bold{X_t} $ t $ \bold{X_t} $ t $ \bold{X_t} $ t $ \bold{X_t} $ t $ \bold{X_t} $
1 0 6 0,155237 11 3,024628 16 3,087684 21 6,752729
2 7,951044 7 8,624721 12 9,738347 17 8,02558 22 7,482817
3 6,397658 8 3,640904 13 3,101355 18 2,516373 23 3,561021
4 4,610894 9 4,743764 14 3,223571 19 3,519417 24 4,574021
5 4,979417 10 6,885646 15 7,654261 20 8,479282 25 7,505544

Como visto no Exemplo 4.8.2.1, as previsões neste modelo com $ \theta_0 = 0 $, são calculadas por

$$\hat{X}_t(h) = [X_{t+h}] = X_t - (\theta_1 + \theta_2)a_t - \theta_2a_{t-1}$$

$$\hat{X}_t(h) = [X_{t+h}] = X_t - 0,79a_t - 0,62a_{t-1}.$$

após os ajuste, temos os seguintes resíduos

t $ \bold{a_t} $ t $ \bold{a_t} $ t $ \bold{a_t} $ t $ \bold{a_t} $ t $ \bold{a_t} $
1 0 6 0,12919554 11 2,4073518 16 -0,296116 21 2,2849263
2 1,00483218 7 -0,88764535 12 0,6177981 17 -1,247726 22 -0,727535
3 -0,16309921 8 -2,25773061 13 -0,057221 18 0,876457 23 0,9349287
4 0,32909621 9 -0,52464252 14 -1,644572 19 0,9083047 24 1,9634528
5 -0,50776379 10 0,72467078 15 0,975214 20 0,1950138 25 -1,635194

Segue que a previsão de t = 26, a partir da origem t = 25 é dada por

$$\hat{X}_{25}(1) = X_{25} - 0,79a_{25} - 0,62a_{24}$$

$$\hat{X}_{25}(1) = 7,50 - 0,79(-1,63) - 0,62(1,96) = 7,5725$$

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