5.2.1 - Modelos ARCH

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O primeiro modelo desenvolvido para estimação da volatilidade foi proposto por Engle (1982) denominado ARCH (Autoregressive Conditional Heterocedasticity) que utilizando uma função quadrática das observações passadas estima-se a volatilidade no instante t.

Considere $ r_t $ uma série temporal estacionária de retornos, estimamos a sua variância condicional(volatilidade) $ h_t $ no instante $ t $ utilizando um modelo ARCH de ordem q por

$$r_t = \sqrt{h_t} \varepsilon_t,$$

$$h_t = \alpha_0 + \alpha_1r_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_qr_{t-q}^2$$

onde $ \alpha_0 \ \textgreater \ 0, \alpha_i \ge 0, i=1,2,...,q-1, \alpha_q \ \textgreater \ 0 $ são condições que garantem a positividade de $ h_t $, além disso segue que $ \varepsilon_t $ é i.i.d. com média zero, e possui uma distribuição normal ou t-student. As constantes $ \alpha_i, i = 0,1,2,...,q $ são calculadas utilizando Regressão Linear.

Uma condição que garante que um processo ARCH(q) é estacionário 

$$ \sum^q_{i = 1} \alpha_i \ \textless \ 1.$$

Um processo ARCH estacionário, tem as seguintes estatísticas

$$E(r_t) = 0$$

$$Var(r_t) = \alpha_0 / \Bigg (1 - \sum^q_{i=1} \alpha_i \Bigg)$$

$$Cov(r_t,r_{t-k}) = E(r_t,r_{t-k}) = 0, \quad k = 1, 2,...$$

Para melhor compreender um modelo ARCH, consideremos um modelo ARCH(1), em que a sua variância condicional depende apenas do instante anterior.

$$r_t = \sqrt{h_t} \varepsilon_t$$

$$h_t = \alpha_0 + \alpha_1r_{t-1}^2$$

com $ \alpha_0 \ \textgreater \ 0 $ e $ \alpha_1 \ge 0 $.

Pode-se demonstrar que o modelo possui as seguintes propriedades:

  1. A média não condicionada de $ r_t $ é zero;
  2. A variância não condicionada de $ r_t $ é dada por $ Var(r_t) = \dfrac{\alpha_0}{1 - \alpha_1}. $

Na construção de modelos ARCH, um primeiro passo é tentar ajustar um modelo ARIMA, para remover a correlação serial na série, se esta existir.

Segue que, quando nos referimos a $ r_t $, estamos supondo que a série de retornos é não correlacionada ou então ela é o resíduo da aplicação de um modelo ARIMA à série original.

Para verificar se a série apresenta heterocedasticidade condicional, podemos aplicar o teste de Ljung - Box na série $ r_t^2 $.

Exemplo 5.2.1.1:

Consideramos uma série temporal com as cotações das ações da Petrobras durante o dia 21/07/2009 minuto a minuto. Vamos calcular a série de retornos e ajustar um modelo ARCH para o calculo da volatilidade neste dia.

Aplicando o teste de Ljung - Box para analisar a autocorrelação de $ r_t^2 $ obtemos um p-valor de 0,5049, ou seja, aceitamos que a série não é i.i.d., isto é, existe autocorrelação na série. Precisamos então ajustar um modelo ARIMA na série de retornos.

Utilizando o critério de informação AIC, identificamos um modelo ARIMA(2,0,0) como melhor ajuste à série de retornos.

$$r_t = 0,18r_{t-1} - 0,09r_{t-2} + a_t$$

Desta forma, ajustando um modelo ARIMA(2,0,0)-ARCH(1), temos que a variância condicional(volatilidade) pode ser calculada em cada instante t por

$$r_t = 0,18r_{t-1} - 0,09r_{t-2} + a_t$$

$$a_t = \sqrt{h_t}\varepsilon_t$$

$$h_t = 1.6 \ast 10^{-8} + 0,139a_{t-1}^2$$

Fazendo uma análise nos resíduos do modelo, verificamos normalidade nos resíduos e utilizando o teste de Ljung - Box obtemos um p-valor de 0,95 indicando que o modelo é adequado para modelar dependência linear entre sucessivos retornos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Exemplo 5.2.1.2:

Considere os valores das ações da Petrobras, minuto a minuto, durante o dia 8 de julho de 2010. Vamos modelar as observações através de uma série temporal, calcular os retornos e a volatilidade utilizando o ARCH.

Inicialmente aplicamos o teste de Ljung - Box para autocorrelação nos retornos e com um p-valor = 0,99 rejeitamos a hipótese das observações serem i.i.d.. Portanto, precisamos ajustar um modelo ARIMA aos retornos para podermos utilizar o ARCH para o cálculo da volatilidade.
Através do teste ADF, detectamos que a série de retornos não é estacionária. Calculamos a série de diferenças para alcançar a estacionariedade e identificamos o modelo ARIMA(2,1,3) como melhor modelo para descrever as observações através do critério AIC.

$$r_t = -1,84r_{t-1} - 0,88r_{t-2} + a_t - 0,87a_{t-1} + 0,95a_{t-2} + 0,87a_{t-3}$$

A partir dos resíduos do modelo ARIMA(2,1,3), calculamos 4 modelos ARCH para identificar o melhor através do critério AIC

Modelo AIC
ARCH(1) -6244,382
ARCH(2) -6345,931
ARCH(3) -6349,556
ARCH(4) -6339,856

Portanto, o melhor modelo via critério AIC é o ARCH(3)

$$r_t = -1,84r_{t-1} - 0,88r_{t-2} + a_t - 0,87a_{t-1} + 0,95a_{t-2} + 0,87a_{t-3}$$


$$a_t = \sqrt{h_t}\varepsilon_t$$


$$h_t = 3,24 \ast 10^{-9} + 0,009a_{t-1}^2 + 0,18a_{t-2} + 3,4 \ast 10^{-15}a_{t-3}$$

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