5.2.2 - Modelos GARCH

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Modelos GARCH(generalized ARCH) se trata de um generalização dos modelos ARCH, proposto por Bollerslev(1986). A diferença entre os modelos é uma componente adicional, referente à varância condicional nos instantes anteriores. A vantagem do modelo GARCH é que ele pode ser utilizado para descrever a volatilidade com menos parâmetros do que um modelo ARCH.

Um modelo GARCH(p,q) é definido por


$$r_t = \sqrt{h_t}\varepsilon_t,$$


$$h_t = \alpha_o + \sum_{i=1}^{p}\alpha_ir_t^2 + \sum^q_{j=1}\beta_jh_{t-j}$$

em que $ \varepsilon_t $ é i.i.d., $ \alpha_0 \ \textgreater \ 0, \alpha_i \ge 0, \beta_j \ge 0 $. As constantes do modelo, $ \alpha_i $ e $ \beta_j $ são calculadas utilizando Regressão Linear.

Analogamente ao caso do modelo ARCH, segue que os $ \varepsilon_t $ são normais ou seguem um distribuição t-Student.

A estacionariedade de um modelo GARCH de ordem (p,q) é garantida se


$$\sum_{i=1}^m(\alpha_i + \beta_i) \ \textless \ 1, \quad \text{em que }m = max(p,q).$$

A identificação da ordem de um modelo GARCH a ser aplicado a uma série temporal real é difícil, recomenda-se que ajuste vários modelos de baixa ordem e depois escolha o melhor se baseando em vários critérios, como AIC ou BIC, valores de assimetria e curtose, da log-verossimilhança ou de alguma função de perda.

Exemplo 5.2.2.1:

Considere a série temporal do IBOVESPA, referente ao dia 29/07/2009 com observações geradas minuto a minuto. Vamos calcular a série de retornos e ajustar um modelo GARCH(1,1) para o calculo da volatilidade.

Aplicando o teste de Ljung - Box para analisar a autocorrelação de $ r_t $, aceitamos a hipótese de que os retornos são i.i.d., então, não precisamos utilizar um modelo ARIMA para ajustar os dados.

Ajustamos um modelo GARCH(1,1) diretamente aos retornos e obtemos


$$r_t = \sqrt{h_t}\varepsilon_t$$


$$h_t = 7,617 \ast 10^{-7} + 0,127r_{t-1}^2 + 0,843h_{t-1}^2$$

Fazendo uma análise nos resíduos do modelo, verificamos a normalidade nos resíduos e, utilizando o teste de Ljung - Box no quadrado dos resíduos obtemos um p-valor = 0,806, indicando que o modelo é apropriado para descrever a dependência linear entre os sucessivos retornos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Exemplo 5.2.2.2:

Considere os Índices da Bovespa durante o dia 05 de maio de 2010. Vamos modelar as observações minuto a minuto através de uma série temporal calcular os retornos e as volatilidades utilizando o GARCH.

Inicialmente aplicamos o teste de Ljung - Box para autocorrelação nos retornos e aceitamos a hipótese dos retornos serem i.i.d., portanto, podemos calcular a volatilidade diretamente nos retornos.

Verificamos 4 modelos para identificar o melhor para o calculo da volatilidade através do critério AIC, obtemos

Modelo AIC
GARCH(1,1) -6448,39
GARCH(1,2) -6359,22
GARCH(2,1) -6354,13
GARCH(2,2) -6359,84

Desta forma, identificamos o GARCH(1,1) o modelo mais adequado para o cálculo da volatilidade.

 

$$r_t = \sqrt{h_t}\varepsilon_t$$
$$h_t = 2,743 \ast 10^{-7} + 0,25r_{t-1}^2 + 0,58h_{t-1}^2$$

Fazendo uma análise nos resíduos do modelo, verificamos a normalidade nos resíduos e, utilizando o teste de Ljung - Box no quadrado dos resíduos, obtemos um p-valor = 0,466, indicando que o modelo é apropriado para descrever a dependência linear entre os sucessivos retornos.

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