5.3.1 - Introdução

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Para iniciarmos o estudo sobre cointegração precisamos entender alguns conceitos iniciais. Considere um modelo de regressão linear simples para $y_t$ contendo uma tendência linear fixa, de inclinação $\beta$.

$$y_t = y_0 + \beta t + u_t, \quad t=1,...,T$$

Então, o termo de erro $u_t$ é um processo autorregressivo de primeira ordem 

$$u_t = \rho u_{t-1} + \varepsilon_t$$

onde $\varepsilon_t$ é um ruido branco, isto é, é uma sequência de erros aleatórios I.I.D com distribuição $N(0,\sigma^2_\varepsilon)$.

Reescrevendo a equação acima utilizando operador de retardo temos

$$u_t = \dfrac{\varepsilon_t}{1 - \rho L}$$

Analisando $\rho$ percebemos que se $|\rho| \textless 1 $ podemos expandir o termo $1/(1 - \rho L)$ por $(1 + \rho L + \rho^2 L^2 + \cdots)$, entao

$$u_t = \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots$$

Neste caso, $u_t$ será a soma dos ruídos brancos $\varepsilon_{t-i}$ tal que o efeito de pertubação diminui com o passar do tempo, pois $|\rho| \textless 1$. Dizemos então que o processo $u_t$ é não integrado, ou ainda, integrado de ordem 0, denotado por $u_t \sim I(0)$. Utilizando palavras que ja conhecemos, isto quer dizer que o processo $u_t$ não possui raiz unitária e é estacionário. 

Caso $\rho = 1$ temos

$$u_t = \varepsilon_t + \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_{t-2} + \cdots$$

então, $u_t$ possuirá uma pertubação persistente que tende ao infinito com o passar do tempo, conhecida como tendência estocástica $\sum_{i=1}^t \varepsilon_t$. Se analisarmos as raízes do termo $(1 - \rho L)$ notamos que $u_t$ possui uma raiz unitária e, portanto, é não estacionário. Dizemos então que $u_t$ é integrado de ordem 1, denotado por $u_t \sim I(1)$.

Cointegração

Para determinar se duas ou mais séries temporais são cointegradas precisamos que algumas hipóteses sejam verificadas:

- As duas séries são não estacionárias de ordem I(1);

- Existe pelo menos uma combinação linear das séries temporais a qual o resíduo da regressão entre elas é estacionária.

Com essas hipóteses satisfeitas dizemos que existe uma relação de cointegração nas séries temporais envolvidas.

Definição 6.1:

Dizemos que duas séries temporais $X_t$ e $Y_t$ não estacionárias de ordem I(1) são cointegradas se existe um $\beta$ tal que

$$Z_t = Y_t - \beta X_t$$

De forma que a série $Z_t$, conhecida como Spread Residual, é estacionária.

Séries Temporais

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