5.3.1 - Introdução

Você está aqui

Para iniciarmos o estudo sobre cointegração precisamos entender alguns conceitos iniciais. Considere um modelo de regressão linear simples para $ y_t $ contendo uma tendência linear fixa, de inclinação $ \beta $.

$$y_t = y_0 + \beta t + u_t, \quad t=1,...,T$$

Então, o termo de erro $ u_t $ é um processo autorregressivo de primeira ordem 

$$u_t = \rho u_{t-1} + \varepsilon_t$$

onde $ \varepsilon_t $ é um ruido branco, isto é, é uma sequência de erros aleatórios I.I.D com distribuição $ N(0,\sigma^2_\varepsilon) $.

Reescrevendo a equação acima utilizando operador de retardo temos

$$u_t = \dfrac{\varepsilon_t}{1 - \rho L}$$

Analisando $ \rho $ percebemos que se $ |\rho| \textless 1  $ podemos expandir o termo $ 1/(1 - \rho L) $ por $ (1 + \rho L + \rho^2 L^2 + \cdots) $, entao

$$u_t = \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots$$

Neste caso, $ u_t $ será a soma dos ruídos brancos $ \varepsilon_{t-i} $ tal que o efeito de pertubação diminui com o passar do tempo, pois $ |\rho| \textless 1 $. Dizemos então que o processo $ u_t $ é não integrado, ou ainda, integrado de ordem 0, denotado por $ u_t \sim I(0) $. Utilizando palavras que ja conhecemos, isto quer dizer que o processo $ u_t $ não possui raiz unitária e é estacionário. 

Caso $ \rho = 1 $ temos

$$u_t = \varepsilon_t + \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_{t-2} + \cdots$$

então, $ u_t $ possuirá uma pertubação persistente que tende ao infinito com o passar do tempo, conhecida como tendência estocástica $ \sum_{i=1}^t \varepsilon_t $. Se analisarmos as raízes do termo $ (1 - \rho L) $ notamos que $ u_t $ possui uma raiz unitária e, portanto, é não estacionário. Dizemos então que $ u_t $ é integrado de ordem 1, denotado por $ u_t \sim I(1) $.

Cointegração

Para determinar se duas ou mais séries temporais são cointegradas precisamos que algumas hipóteses sejam verificadas:

- As duas séries são não estacionárias de ordem I(1);

- Existe pelo menos uma combinação linear das séries temporais a qual o resíduo da regressão entre elas é estacionária.

Com essas hipóteses satisfeitas dizemos que existe uma relação de cointegração nas séries temporais envolvidas.

Definição 6.1:

Dizemos que duas séries temporais $ X_t $ e $ Y_t $ não estacionárias de ordem I(1) são cointegradas se existe um $ \beta $ tal que

$$Z_t = Y_t - \beta X_t$$

De forma que a série $ Z_t $, conhecida como Spread Residual, é estacionária.

Séries Temporais

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]