5.3.2 - Teste de Engle - Granger

O teste mais conhecido para detectar cointegração entre séries temporais é o teste de Engle - Granger, que segue basicamente a definição de cointegração. As hipóteses do teste são

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \text{As séries temporais não são cointegradas;}\\H_1: \text{As séries temporais são cointegradas.}\end{array}\right.\]

Sejam $X_t$ e $Y_t$ duas séries temporais. Primeiramente precisamos verificar se $X_t$ e $Y_t$ são não estacionárias de ordem I(1), para isso podemos utilizar algum teste de raiz unitária, por exemplo: Teste ADF, teste PP ou teste KPPS.

Após verificado a presença de raiz unitária nas séries temporais $X_t$ e $Y_t$, precisamos definir qual o tipo de regressão se adequa melhor aos nossos dados, entre os casos: Com intercepto, com tendência e intercepto ou sem nenhum termo adicional. Em cada caso, os modelos de regressão são dados por

$$Z_t = Y_t - \beta X_t + \alpha $$

$$Z_t = Y_t - \beta X_t + \gamma t + \alpha $$

$$Z_t = Y_t - \beta X_t $$

respectivamente, onde $\beta$ é o parâmetro de cointegração, $\alpha$ é o intercepto (constante) e $\gamma$ é o parâmetro de tendência.

Assim, aplicamos novamente um teste de raiz unitária nos resíduos, respeitando o modelo adotado em $Z_t$, porém, com valores críticos levemente alterados pois estamos reaplicando o teste em uma aproximação. Neste caso estes valores foram simulados utilizando simulação de Monte Carlo.

Exemplo 5.3.2.1:

Sejam $X_t$ e $Y_t$ duas séries temporais dos valores de fechamento diário dos ativos ACBC4 e ITUB3 da bolsa de valores de São Paulo, durante o período de 9 de agosto de 2011 a 22 de agosto de 2013. Vamos verificar se existe cointegração entre $X_t$ e $Y_t$.

Primeiramente, aplicamos o teste ADF às séries $X_t$ e $Y_t$, obtendo p-valores 0,569 e 0,592 respectivamente, portanto aceitamos a hipótese nula das séries serem não estacionárias.

Calculando o parâmetro $\beta$ obtemos o spread

$$Z_t = Y_t - 0,4671 X_t$$

Aplicando o teste ADF ao resíduo da regressão obtemos um p-valor de 0,031, portanto, rejeitamos a hipótese nula de as séries $X_t$ e $Y_t$ não serem cointegradas, isto é, $X_t$ e $Y_t$ são cointegradas.

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