5.3.3 - Teste de Phillips - Ouliaris

Phillips e Ouliaris propuseram dois testes baseados nos resíduos, chamados Taxa de Variância e Traço Multivariado. A Diferença entre eles é que o teste usando a estatística do Traço Multivariado tem a propriedade de ser invariante à normalização, isto é, qual é a variável explicada e qual é a explicativa.

As hipóteses do teste são:

$$\left\{\begin{array}{l} H_0: \text{Não existe cointegração entre as séries temporais;} \\ H_1:\text{As séries temporais são cointegradas.}\end{array} \right.$$

Seja $x_t$ e $y_t$ duas séries temporais. Inicialmente verificamos se as séries $x_t$ e $y_t$ são não estacionárias de ordem I(1) utilizando algum teste de raiz unitária: Teste ADF, teste PP ou teste KPPS.

Após verificado a presença de raiz unitária em $x_t$ e $y_t$ tomamos a partição $\mu_t = (y_t, x_t \prime)$ calculamos um vetor autorregressivo de primeira ordem, isto é, fazemos uma regressão de $\mu_t$ em $\mu_{t-1}$ sem intercepto

$$\mu_t = \alpha \mu_{t-1} + r_t$$

Baseando-se no resíduo da regressão de defasagem, Phillips e Ouliaris propõem duas estatísticas que podem ser utilizadas para detectar cointegração entre as séries temporais:

- Taxa de Variância:

$$P_u = \dfrac{N^2\hat{\omega}_{11.2}}{\sum^N_{i=1}\hat{r_i}^2}$$

onde

$$\hat{\omega}_{11.2} = \hat{\omega}_{11} - \hat{\omega}_{21}\prime\hat{\Omega}_{22}^{-1} \hat{\omega}_{21}$$

Tal que $\Omega$ representa matriz de variância e covariância escrita na forma

 $$\Omega = \left | \begin{array} \ \omega_{11} \ \ \omega_{12} \\ \ \omega_{21} \ \ \Omega_{22} \end{array} \right |$$

e é estimada por

$$ \hat{\Omega} = N^{-1}\sum_{t=1}^N r_t^2 + N^{-1}\sum_{s=1}^l w_{sl}\sum_{t = s+1}^N (r_t r_{t-s}\prime+r_{t-s}r_t\prime)$$

onde $r_t$ são os resíduos da regressão de defasagem acima e $w_{ls} = 1 - s/(l+1)$ para algum número de defasagens $l$.

- Traço Multivariado:

$$P_z = N tr(\hat{\Omega}M_{zz}^{-1}), \quad \hbox{onde} \quad M_{zz} = N^{-1}\sum_{t=1}^N \mu_t \mu_t\prime$$

em que $\hat{\Omega}$ igual definida acima.

 Exemplo 5.3.3.1:

Considere os ativos financeiros da bolsa de valores de São Paulo, ITSU4 e ITUB4. Vamos analisar se os ativos financeiros são cointegrados durante o período de 01/08/2011 à 09/09/2013 com observações a cada 15 minutos em um total  de 14531 observações.

Utilizamos o  para efetuar os cálculos e obtemos os resultados:

Portanto, recusamos a hipótese nula de que não existe cointegração entre as séries temporais.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo