5.3.5 - Teste de Johansen

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Seja $Z_t$ uma matrix $(n \times p)$ de séries temporais sendo que cada coluna representa uma série temporal. Para utilizarmos a metodologia de Johansen é necessário modelar $Z_t$ como um vetor autorregressivo (VAR) sem restrições envolvendo k defasagens de $Z_t$. O modelo VAR pode ser escrito da seguinte forma

$$Z_t = A_1 Z_{t-1} + \cdots + A_k Z_{t-k} + \Phi D_t + u_t$$

onde $u_t \sim IN(0, \sum), Z_t$ é um vetor $(n \times 1)$ e cada elemento $A_i$ é uma matriz de parâmetros de ordem $(n \times n)$ e $D_t$ representa termos determinísticos, tais como constante, tendência linear e sazonalidade. 

No caso da metodologia de Johansen também se torna necessário determinar a ordem da defasagem de $Z_t$, pois este procedimento tem como base a hipótese de que ao se introduzir um certo número de defasagem, é possível obter os resíduos bem comportados, isto é, estacionários.

Desta forma, a equação acima pode ser modificada em termos de um modelo de correção de erros (VEC) da seguinte forma

$$\Delta Z_t = \Gamma_1 \Delta Z_{t-1} + \cdots + \Gamma_{k-1} \Delta Z_{t-k+1} + \Pi Z_{t-k} + \Phi D_t + u_t$$ 

onde $\Gamma_i = -(I - A_1 - \cdots - A_i), (i = 1,2,...,k-1),$ e $\Pi = -(I - A_1 - \cdots - A_k)$. A principal vantagem em escrever o sistema em termos do modelo de correção de erros é o fato de que, nesse formato, são incorporadas informações de longo e curto prazo.

A metodologia de Johansen apresenta três situações se baseando no posto de $\Pi$

  1. $\Pi$ possui posto completo. Neste caso temos que há $p = r$ colunas linearmente independentes, então as variáveis em $Z_t$  são $L(0)$, isto é, as séries em $Z_t$ são estacionárias.
  2. $\Pi$ possui posto igual a zero, então não existe cointegração nas séries temporais de $Z_t$ 
  3. $\Pi$ possui posto reduzido. Este é o caso mais importante, quando há $r \le (p-1)$ séries cointegradas em $Z_t$, podemos escrever $\Pi = \alpha \beta '$ sendo que $\alpha$ é uma matriz $(n \times p)$ que representa a velocidade de ajustamento dos parâmetros da matriz no curto prazo e $\beta$ é uma matriz $(n \times p)$ de coeficientes de cointegração de longo prazo. Podemos então, dizer que o termo $\beta ' Z_{t-k}$ representa as $p-1$ relações de cointegração no modelo multivariado, assegurando assim que $Z_t$ converge para  uma solução a longo prazo.

Para testar a presença de séries cointegradas em $Z_t$ existe duas estatísticas a serem consideradas

$$J_{trace} = -T \sum_{i = r+1}^n ln(1 - \hat{\lambda}_i)$$

$$J_{max} = -T ln(1 - \hat{\lambda}_{r+1})$$

onde T é o número de observações em cada série temporal de $Z_t$ e $\hat{\lambda}_i$ é o i-ésimo autovalor da matriz que determina a relação canônica entre $\Delta Z_t$ e $Z_{t-1}$ após corrigido erros de diferenciação, se estes existirem (para mais detalhes consulte: "Johansen, S. (1988), Statistical Analysis of Cointegration Vectors, Journal of Economic Dynamics and Control, 12, 231–254").

A estatística $J_{trace}$ testa as hipóteses

$$H_0: \lambda_i = 0; \quad i=r+1, ... , n$$

$$H_1: \lambda_i = 0; \quad i=1,2,...,n $$

Ou seja, a hipótese nula é que somente os $r$ primeiros autovalores são diferentes de zero, isto é, existe $r$ séries temporais cointegradas em $Z_t$.

A estatística $J_{max}$ testa a hipótese nula de existir $r$ séries cointegradas contra existir $r+1$ séries cointegradas, a qual na prática não é utilizada, uma vez que o teste da estatística $J_{trace}$ foi mostrado ser mais robusto para simetria e excesso de curtose.

Os valores críticos da estatística $J_{trace}$ foram calculadas por Johansen em 1995, através de estudos de simulações utilizando Movimento Browniano.

Exemplo 5.3.5.1:

Considere $Z_t$ uma matriz com duas séries temporais referente aos ativos financeiros GGBR4 e GOAU4 da bolsa de valores de São Paulo durante o período de 09/08/2013 a 03/09/2013. Vamos testar a cointegração entre os ativos utilizando o teste de Johansen

Devido ao fato da metodologia de Johansen ser bastante complexa, não é viável gerar os cálculos analiticamente. Portanto, utilizando o  para efetuar os cálculos obtemos os seguintes resultados:

Então, rejeitamos a hipótese de existir 0 cointegrações e aceitamos a hipótese de existir 1 relação de cointegração em $Z_t$. Conclusão: Os ativos financeiros GGBR4 e GOAU3 são cointegrados.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

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