5.3.5 - Teste de Johansen

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Seja $ Z_t $ uma matrix $ (n \times p) $ de séries temporais sendo que cada coluna representa uma série temporal. Para utilizarmos a metodologia de Johansen é necessário modelar $ Z_t $ como um vetor autorregressivo (VAR) sem restrições envolvendo k defasagens de $ Z_t $. O modelo VAR pode ser escrito da seguinte forma

$$Z_t = A_1 Z_{t-1} + \cdots + A_k Z_{t-k} + \Phi D_t + u_t$$

onde $ u_t \sim IN(0, \sum), Z_t $ é um vetor $ (n \times 1) $ e cada elemento $ A_i $ é uma matriz de parâmetros de ordem $ (n \times n) $ e $ D_t $ representa termos determinísticos, tais como constante, tendência linear e sazonalidade. 

No caso da metodologia de Johansen também se torna necessário determinar a ordem da defasagem de $ Z_t $, pois este procedimento tem como base a hipótese de que ao se introduzir um certo número de defasagem, é possível obter os resíduos bem comportados, isto é, estacionários.

Desta forma, a equação acima pode ser modificada em termos de um modelo de correção de erros (VEC) da seguinte forma

$$\Delta Z_t = \Gamma_1 \Delta Z_{t-1} + \cdots + \Gamma_{k-1} \Delta Z_{t-k+1} + \Pi Z_{t-k} + \Phi D_t + u_t$$

 

onde $ \Gamma_i = -(I - A_1 - \cdots - A_i), (i = 1,2,...,k-1), $ e $ \Pi = -(I - A_1 - \cdots - A_k) $. A principal vantagem em escrever o sistema em termos do modelo de correção de erros é o fato de que, nesse formato, são incorporadas informações de longo e curto prazo.

A metodologia de Johansen apresenta três situações se baseando no posto de $ \Pi $

  1. $ \Pi $ possui posto completo. Neste caso temos que há $ p = r $ colunas linearmente independentes, então as variáveis em $ Z_t $  são $ L(0) $, isto é, as séries em $ Z_t $ são estacionárias.
  2. $ \Pi $ possui posto igual a zero, então não existe cointegração nas séries temporais de $ Z_t $ 
  3. $ \Pi $ possui posto reduzido. Este é o caso mais importante, quando há $ r \le (p-1) $ séries cointegradas em $ Z_t $, podemos escrever $ \Pi = \alpha \beta ' $ sendo que $ \alpha $ é uma matriz $ (n \times p) $ que representa a velocidade de ajustamento dos parâmetros da matriz no curto prazo e $ \beta $ é uma matriz $ (n \times p) $ de coeficientes de cointegração de longo prazo. Podemos então, dizer que o termo $ \beta ' Z_{t-k} $ representa as $ p-1 $ relações de cointegração no modelo multivariado, assegurando assim que $ Z_t $ converge para  uma solução a longo prazo.

Para testar a presença de séries cointegradas em $ Z_t $ existe duas estatísticas a serem consideradas

$$J_{trace} = -T \sum_{i = r+1}^n ln(1 - \hat{\lambda}_i)$$

$$J_{max} = -T ln(1 - \hat{\lambda}_{r+1})$$

onde T é o número de observações em cada série temporal de $ Z_t $ e $ \hat{\lambda}_i $ é o i-ésimo autovalor da matriz que determina a relação canônica entre $ \Delta Z_t $ e $ Z_{t-1} $ após corrigido erros de diferenciação, se estes existirem (para mais detalhes consulte: "Johansen, S. (1988), Statistical Analysis of Cointegration Vectors, Journal of Economic Dynamics and Control, 12, 231–254").

A estatística $ J_{trace} $ testa as hipóteses

 \lambda_i = 0; \quad i=r+1, ... , n$$

 \lambda_i = 0; \quad i=1,2,...,n $$

Ou seja, a hipótese nula é que somente os $ r $ primeiros autovalores são diferentes de zero, isto é, existe $ r $ séries temporais cointegradas em $ Z_t $.

A estatística $ J_{max} $ testa a hipótese nula de existir $ r $ séries cointegradas contra existir $ r+1 $ séries cointegradas, a qual na prática não é utilizada, uma vez que o teste da estatística $ J_{trace} $ foi mostrado ser mais robusto para simetria e excesso de curtose.

Os valores críticos da estatística $ J_{trace} $ foram calculadas por Johansen em 1995, através de estudos de simulações utilizando Movimento Browniano.

Exemplo 5.3.5.1:

Considere $ Z_t $ uma matriz com duas séries temporais referente aos ativos financeiros GGBR4 e GOAU4 da bolsa de valores de São Paulo durante o período de 09/08/2013 a 03/09/2013. Vamos testar a cointegração entre os ativos utilizando o teste de Johansen

Devido ao fato da metodologia de Johansen ser bastante complexa, não é viável gerar os cálculos analiticamente. Portanto, utilizando o  para efetuar os cálculos obtemos os seguintes resultados:

Então, rejeitamos a hipótese de existir 0 cointegrações e aceitamos a hipótese de existir 1 relação de cointegração em $ Z_t $. Conclusão: Os ativos financeiros GGBR4 e GOAU3 são cointegrados.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

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