Teste de independência para estudo de produtos rejeitados

Uma empresa quer realizar um estudo sobre a quantidade de produtos que foi rejeitado por mês, no primeiro semestre do ano. Para isso realizamos um estudo considerando duas variáveis, ação que refere-se a ação de rejeitar ou não rejeitar o produto e o mês em que a ação foi tomada, estas variáveis foram divididas da seguinte forma:

Iniciamos montando a tabela cruzada das observações:

Tabela 9.2.1: Tabela cruzada. 

Agora calculamos as frequências esperadas:

$$E_{ij}=n~\cfrac{n_{i.}}{n}~\cfrac{n_{.j}}{n}=\cfrac{n_{i.}~n_{.j}}{n}~~~~~~\begin{array}{c}i=1,2 \\j=1,2,3\end{array} $$

$$E_{11}=\cfrac{606*2858}{5098}=339,73$$

$$\vdots$$

$$E_{62}=\cfrac{885*2240}{5098}=388,86$$

Dessa forma, montamos uma tabela das frequências esperadas:

Tabela 9.2.2: Frequências esperadas. 

Agora calculamos os valores padronizados:

$$Q^2_{ij}=\cfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}~~~~~~\begin{array}{c}i=1,2 \\j=1,2,3\end{array} $$

$$Q^2_{11}=\cfrac{(357-339,73)^2}{339,73}=0,88$$

$$\vdots$$

$$Q^2_{62}=\cfrac{(460-388,86)^2}{388,86}=13,02$$

Dessa forma, montamos uma tabela com os valores de $Q^2$ no ponto $(i,j)$:

Tabela 9.2.3: Valores de $Q^2$ no ponto $(i,j)$.

$$Q^2_{obs}=\sum^r_{i=1}\sum^c_{j=1}\cfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=0,88+1,12+0,61+0,78+10,44+13,32+8,44+10,77+7,36+9,39+10,20+13,02=86,33$$

$$\mbox{p-valor}=P[86,33\textgreater \chi^2_{(6-1)(2-1)}|H_0]=3,95762E^{-17}$$

Como obtemos $Q^2_{obs}=86,33$ e do $p-valor=3,95762E^{-17}$, rejeitarmos a hipótese nula. Portanto, concluímos que existe dependência entre o mês e a ação, ao nível de significância de 5%, ou seja, não são independentes.

Agora calculamos as medidas de associação:

1. Coeficiente de contingência quadrático médio:

$$\Phi^2=\cfrac{Q^2_{obs}}{n}=0,02$$

2. Coeficiente de contingência 

$$P=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{1+\frac{Q^2_{obs}}{n}}}=\sqrt{\cfrac{Q^2_{obs}}{n+Q^2_{obs}}}=0,13$$

3. Coeficiente de Tschuprov

$$T=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{(r-1)(c-1)}}=0,06$$

4. Coeficiente de Cramer

$$C=\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{\min\{r-1;c-1\}}=0,02$$

Notamos que nos 4 casos o valor do coeficiente é muito baixo, o que significa que a associação entre as variáveis é muito pequena.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.