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Uma empresa quer realizar um estudo sobre a quantidade de produtos que foi rejeitado por mês, no primeiro semestre do ano. Para isso realizamos um estudo considerando duas variáveis, ação que refere-se a ação de rejeitar ou não rejeitar o produto e o mês em que a ação foi tomada, estas variáveis foram divididas da seguinte forma:
Iniciamos montando a tabela cruzada das observações:
Não Rejeitado | Rejeitado | Total | |
Janeiro | 357 | 249 | 606 |
Fevereiro | 383 | 328 | 711 |
Março | 535 | 295 | 830 |
Abril | 605 | 354 | 959 |
Maio | 553 | 554 | 1107 |
Junho | 425 | 460 | 885 |
Total | 2858 | 2240 | 5098 |
Tabela 9.2.1: Tabela cruzada.
Agora calculamos as frequências esperadas:
$$E_{ij}=n~\cfrac{n_{i.}}{n}~\cfrac{n_{.j}}{n}=\cfrac{n_{i.}~n_{.j}}{n}~~~~~~\begin{array}{c}i=1,2 \\j=1,2,3\end{array} $$
$$E_{11}=\cfrac{606*2858}{5098}=339,73$$
$$\vdots$$
$$E_{62}=\cfrac{885*2240}{5098}=388,86$$
Dessa forma, montamos uma tabela das frequências esperadas:
Não Rejeitado | Rejeitado | |
Janeiro | 339,73 | 266,27 |
Fevereiro | 398,6 | 312,4 |
Março | 465,31 | 364,69 |
Abril | 537,63 | 421,37 |
Maio | 620,6 | 486,4 |
Junho | 496,14 | 388,86 |
Tabela 9.2.2: Frequências esperadas.
Agora calculamos os valores padronizados:
$$Q^2_{ij}=\cfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}~~~~~~\begin{array}{c}i=1,2 \\j=1,2,3\end{array} $$
$$Q^2_{11}=\cfrac{(357-339,73)^2}{339,73}=0,88$$
$$\vdots$$
$$Q^2_{62}=\cfrac{(460-388,86)^2}{388,86}=13,02$$
Dessa forma, montamos uma tabela com os valores de $Q^2$ no ponto $(i,j)$:
Não Rejeitado | Rejeitado | |
Janeiro | 0,88 | 1,12 |
Fevereiro | 0,61 | 0,78 |
Março | 10,44 | 13,32 |
Abril | 8,44 | 10,77 |
Maio | 7,36 | 9,39 |
Junho | 10,20 | 13,02 |
Tabela 9.2.3: Valores de $Q^2$ no ponto $(i,j)$.
$$Q^2_{obs}=\sum^r_{i=1}\sum^c_{j=1}\cfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=0,88+1,12+0,61+0,78+10,44+13,32+8,44+10,77+7,36+9,39+10,20+13,02=86,33$$
$$\mbox{p-valor}=P[86,33\textgreater \chi^2_{(6-1)(2-1)}|H_0]=3,95762E^{-17}$$
Como obtemos $Q^2_{obs}=86,33$ e do $p-valor=3,95762E^{-17}$, rejeitarmos a hipótese nula. Portanto, concluímos que existe dependência entre o mês e a ação, ao nível de significância de 5%, ou seja, não são independentes.
Agora calculamos as medidas de associação:
1. Coeficiente de contingência quadrático médio:
$$\Phi^2=\cfrac{Q^2_{obs}}{n}=0,02$$
2. Coeficiente de contingência
$$P=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{1+\frac{Q^2_{obs}}{n}}}=\sqrt{\cfrac{Q^2_{obs}}{n+Q^2_{obs}}}=0,13$$
3. Coeficiente de Tschuprov
$$T=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{(r-1)(c-1)}}=0,06$$
4. Coeficiente de Cramer
$$C=\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{\min\{r-1;c-1\}}=0,02$$
Notamos que nos 4 casos o valor do coeficiente é muito baixo, o que significa que a associação entre as variáveis é muito pequena.
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.
O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.