Teste de independência para estudo de produtos rejeitados

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Uma empresa quer realizar um estudo sobre a quantidade de produtos que foi rejeitado por mês, no primeiro semestre do ano. Para isso realizamos um estudo considerando duas variáveis, ação que refere-se a ação de rejeitar ou não rejeitar o produto e o mês em que a ação foi tomada, estas variáveis foram divididas da seguinte forma:

Iniciamos montando a tabela cruzada das observações:

  Não Rejeitado Rejeitado Total
Janeiro 357 249 606
Fevereiro 383 328 711
Março 535 295 830
Abril 605 354 959
Maio 553 554 1107
Junho 425 460 885
Total 2858 2240 5098

Tabela 9.2.1: Tabela cruzada. 

Agora calculamos as frequências esperadas:

$$E_{ij}=n~\cfrac{n_{i.}}{n}~\cfrac{n_{.j}}{n}=\cfrac{n_{i.}~n_{.j}}{n}~~~~~~\begin{array}{c}i=1,2 \\j=1,2,3\end{array} $$

 

$$E_{11}=\cfrac{606*2858}{5098}=339,73$$

$$\vdots$$

$$E_{62}=\cfrac{885*2240}{5098}=388,86$$

Dessa forma, montamos uma tabela das frequências esperadas:

  Não Rejeitado Rejeitado
Janeiro 339,73 266,27
Fevereiro 398,6 312,4
Março 465,31 364,69
Abril 537,63 421,37
Maio 620,6 486,4
Junho 496,14 388,86

Tabela 9.2.2: Frequências esperadas. 

Agora calculamos os valores padronizados:

$$Q^2_{ij}=\cfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}~~~~~~\begin{array}{c}i=1,2 \\j=1,2,3\end{array} $$

 

$$Q^2_{11}=\cfrac{(357-339,73)^2}{339,73}=0,88$$

$$\vdots$$

$$Q^2_{62}=\cfrac{(460-388,86)^2}{388,86}=13,02$$

Dessa forma, montamos uma tabela com os valores de $ Q^2 $ no ponto $ (i,j) $:

  Não Rejeitado Rejeitado
Janeiro 0,88 1,12
Fevereiro 0,61 0,78
Março 10,44 13,32
Abril 8,44 10,77
Maio 7,36 9,39
Junho 10,20 13,02

Tabela 9.2.3: Valores de $ Q^2 $ no ponto $ (i,j) $.

$$Q^2_{obs}=\sum^r_{i=1}\sum^c_{j=1}\cfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=0,88+1,12+0,61+0,78+10,44+13,32+8,44+10,77+7,36+9,39+10,20+13,02=86,33$$

$$\mbox{p-valor}=P[86,33\textgreater \chi^2_{(6-1)(2-1)}|H_0]=3,95762E^{-17}$$

 

Como obtemos $ Q^2_{obs}=86,33 $ e do $ p-valor=3,95762E^{-17} $, rejeitarmos a hipótese nula. Portanto, concluímos que existe dependência entre o mês e a ação, ao nível de significância de 5%, ou seja, não são independentes.

Agora calculamos as medidas de associação:

1. Coeficiente de contingência quadrático médio:

$$\Phi^2=\cfrac{Q^2_{obs}}{n}=0,02$$

2. Coeficiente de contingência 

$$P=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{1+\frac{Q^2_{obs}}{n}}}=\sqrt{\cfrac{Q^2_{obs}}{n+Q^2_{obs}}}=0,13$$

3. Coeficiente de Tschuprov

$$T=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{(r-1)(c-1)}}=0,06$$

4. Coeficiente de Cramer

$$C=\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{\min\{r-1;c-1\}}=0,02$$

Notamos que nos 4 casos o valor do coeficiente é muito baixo, o que significa que a associação entre as variáveis é muito pequena.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.

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