2.3 - Medidas de Associação

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Medidas baseadas em $ Q^2_{obs} $

As medidas de associação são utilizadas com a finalidade de medir o nível de associação entre variáveis qualitativas nominais.

1. Coeficiente de contingência quadrático médio: usa o próprio valor da estatística $ Q^2_{obs} $ como medida de associação, mas como $ Q^2_{obs} $ depende de n, implica que a medida é crescente em n. Para se obter uma medida não afetada pela dimensão da amostra, definimos este coeficiente 

$$\Phi^2=\cfrac{Q^2_{obs}}{n}$$

Desvantagens: Não é limitado superiormente.

2. Coeficiente de contingência proposto por Pearson (1904)

$$P=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{1+\frac{Q^2_{obs}}{n}}}=\sqrt{\cfrac{Q^2_{obs}}{n+Q^2_{obs}}}$$

Obtemos valores entre 0 e 1, atingindo o seu valor mínimo se, e somente se $ Q^2_{obs} = 0 $, ou seja, no caso de completa independência. O valor máximo não é, em geral atingido. Mesmo em casos de completa dependência, o valor é modificado com o número de linhas e de colunas da tabela. Para solucionar este problema propomos:

3. Coeficiente de Tschuprov

$$T=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{\sqrt{(r-1)(c-1)}}}$$

Tem valor 0 no caso de independência e consegue atingir o valor máximo 1, no caso de dependência completa, mas apenas se $ r = c $.

4. Coeficiente de Cramér

$$C=\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{\sqrt{\min\{r-1;c-1\}}}$$

O valor deste coeficiente fica próximo de 1 em caso de forte dependência e próximo de 0 em caso de independência. O coeficiente de Cramér não é limitado superiormente.

Para quaisquer dos coeficientes apresentados existem expressões para as suas variâncias. A grande desvantagem destes coeficientes é que não permitem interpretações probabilísticas como as que se fazem com o coeficiente de correlação, por exemplo, mas nos dão uma boa ideia do nível de associação entre as variáveis. 

Quanto maior o valor do coeficiente, maior o nível de associação entre as variáveis.

Exemplo 2.3.1

Consideremos o exemplo 2.2.1.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

  Desordem Afetiva Esquizofrenia Neurose Total
Atividade Retardada 12 13 5 30
Atividade Não Retardada 18 17 25 60
Total 30 30 30 90

Tabela 2.3.1: Atividade de doentes psiquiátricos.

 

1. Coeficiente de contingência quadrático médio: 

$$\Phi^2=\cfrac{Q^2_{obs}}{n}=\cfrac{5,7}{90}=0,0633$$

2. Coeficiente de contingência  

$$P=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{1+\frac{Q^2_{obs}}{n}}}=\sqrt{\cfrac{Q^2_{obs}}{n+Q^2_{obs}}}=\sqrt{\cfrac{5,7}{90+5,7}}=0,244$$

3. Coeficiente de Tschuprov

$$T=\sqrt{\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{(r-1)(c-1)}}=\sqrt{\cfrac{\frac{5,7}{90}}{(3-1)(2-1)}}=0,178$$

4. Coeficiente de Cramer

$$C=\cfrac{\frac{Q^2_{obs}}{n}}{\min\{r-1;c-1\}}=\cfrac{\frac{5,7}{90}}{\min\{3-1,2-1\}}=0,0633$$

Pelo coeficiente de contingência (P = 0,24) temos uma associação moderada. Para as demais, temos uma baixa associação.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 2.3.2

Consideremos o exemplo 2.2.2 .

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Tipo de Pagamento Período do Dia
Manhã Tarde Noite
Cartão de Débito 28 70 130
Cartão de Crédito 11 15 83
Dinheiro 18 33 101

Tabela 2.3.2: Movimentação das compras em cada período do dia.

Pelo coeficiente de contingência (P = 0,16) temos uma associação moderada. Para as demais, temos uma baixa associação.

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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