3.1 - Função de probabilidade das frequências

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Consideramos uma tabela cruzada r x c, em que temos r amostras ou populações da variável R (variável linha) e c classes ou categorias da variável C (variável coluna). Logo, temos r variáveis multinomiais (se for a margem correspondente ao critério da linha fixada), uma para cada amostra.

Dada uma amostra de $ n_{i.} $ observações da população i da variável R, com i=1,...,r, Consideramos o vetor $ (O_{i1},O_{i2},...,O_{ic}) $ de variáveis aleatórias, sendo $ O_{ij} $ o total de observações (de entre as $ n_{i.} $ da amostra i) classificadas na categoria j da variável C, com j=1,...,c.

Se $ p_{j|i}=P(\text{uma observação da amostra}~ i~\text{ ser classificada na classe}~ j~\text{ da variável}~C), $ j=1,...,c

então o vetor aleatório $ (N_{i1},...,N_{ic}) $ tem distribuição multinomial, ou seja 

$$P(O_{i1}=o_{i1},\dots, O_{ic}=o_{ic})=\cfrac{n_{i.}}{\displaystyle\prod^c_{j=1}n_{ij}!}\prod^c_{j=1}p^{n_{ij}}_{j|_i}~~~\text{com}~~\sum^c_{j=1}o_{ij}=n_{i\dot}$$

Repetimos esta probabilidade para r amostras independentes das r populações. Com isso, temos vetores aleatórios independentes com distribuição multinomial, embora eventualmente distintas.

Assim, obtemos a frequência esperada de observações da amostra i, classificadas na população j da variável C (coluna) da seguinte forma: 

$$F_{j|_i}=n_{i.}~\hat{p}_{j|_i}~~~~~~~j=1,\dots, c$$

Com isso, os estimadores de máxima verossimilhança de pj|i são: 

$$\hat{p}_{j|_i}=\cfrac{O_{ij}}{n_{i.}}~~~~\begin{array}{c}i=1,\dots,r \\j=1,\dots,c\end{array}$$

e os estimadores de máxima verossimilhança das frequências esperadas são: 

$$E_{j|_i}=n_{i.}~\hat{p}_{j|_i}=n_{i.}\cfrac{O_{ij}}{n_{i.}}=O_{ij}~~~~\begin{array}{c}i=1,\dots,r \\j=1,\dots,c\end{array}$$

A seguir, apresentamos a análise estatística para o teste de homogeneidade para tabelas cruzadas.

 

 

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