3.6 - Uso indiscriminado do teste de homogeneidade

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Vejamos agora um exemplo de como o teste de homogeneidade em tabelas cruzadas com uma das margens fixa pode ser usado de modo pouco apropriado.

Antes das eleições, um consultor político foi encarregado de uma pesquisa frente a opinião pública e colheu os seguintes dados. De 400 eleitores entrevistados, 200 pretendiam votar a favor do partido que veio a ganhar as eleições, e os outros 200 estavam decididos a votar no partido de oposição. Depois das eleições, o governo instituiu uma legislação trabalhista e um teto salarial, que eventualmente poderiam causar descontentamento entre o eleitorado. O mesmo consultor político entrevistou de novo as mesmas 400 pessoas, e desta vez 182 declararam que eram partidárias do governo, enquanto 218 declararam que, se houvesse eleições naquele momento, votariam contra o governo. Com base nestes dados, o especialista elaborou a tabela cruzada (3.6.1) , no qual determinamos $ Q^2_{obs} =1,448 $ e p-valor$ =0,23 $, e assim não há razão para rejeitar a hipótese de homogeneidade mesmo ao nível de significância, pouco usual, de 0,2. O governo, contentíssimo, mandou publicar esta análise em todos os jornais, provando que continuava a ter o apoio da população.

 

Opinião Total
Favor do Governo Contra o Governo
Instante Antes das Eleições 200 200 400
Depois das Eleições 182 218 400
Total 382 418 800

Tabela 3.6.1: Pesquisa de Opinião.

Vamos ver os resultados obtidos pelo software Action:

Claro que em um caso desses, o partido de oposição não teve a menor dificuldade em fazer chacota do governo, pois a análise está totalmente errada. De fato, o analista não tem 800 respostas independentes, o fato de cada pessoa responder duas vezes introduz uma correlação nos resultados que não pode ser ignorada. O que deve ser analisado são os 400 pares de respostas, e não as 800 respostas isoladas. Assim, usamos o coeficiente de correlação proposto por Yule (1900) variando em um intervalo [-1,1]. Porém, primeiramente, definimos o odds ratio (razão de chances) para tabelas cruzadas 2x2. Então temos que o odds ratio é dado pela seguinte fórmula: 

$$OR=\frac{O_{11}\times O_{22}}{O_{12}\times O_{21}}$$

Agora, definimos o coeficiente de correlação de Yule da seguinte forma: 

$$\psi=\frac{OR-1}{OR+1}$$

Portanto, para nosso exemplo temos: 

$$OR=\frac{200\times 218}{200\times 182}=1,197\quad\mbox{e}\quad\psi=\frac{1,197-1}{1,197+1}=0,089$$

Assim, o número de eleitores que antes votaram contra e que agora votariam a favor depois das eleições é calculada da seguinte forma: 

$$O_{2^\prime 1^\prime}=\psi\times O_{21}=0,089\times 182\approx 16$$

Agora, como o número de eleitores entrevistados foi de 200, então temos que o número de eleitores que foi contra antes das eleições e que continuaram contra depois das eleições é de $ 200-16=184 $ eleitores. Portanto a tabela que deveria ser analisada, é mostrada na tabela (3.6.2)

     Depois das Eleições Total
Favor Contra
Antes das Eleições Favor 166 34 200
Contra 16 184 200
Total 182 218 400

Tabela 3.6.2: Pesquisa de Opinião do Antes e Depois das Eleições.

Observamos pelos resultados obtidos pelo software Action, que $ Q^2_{obs} =223,82 $ e p-valor$ ≈0 $.  Assim rejeitamos a hipótese de homogeneidade ao nível de significância 5%. Pelos resultados, vemos também que cerca de 15% dos eleitores que antes eram a favor do governo, agora são contra.

Nota: Caso pretendamos testar a independência dos critérios de classificação, ou caso pretendamos testar a homogeneidade de populações relativamente a um critério de classificação, a estatística Qui-Quadrado continua a ter a mesma expressão e para amostras grandes terá distribuição limite Qui-Quadrado com 1 grau de liberdade.

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