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Vejamos agora um exemplo de como o teste de homogeneidade em tabelas cruzadas com uma das margens fixa pode ser usado de modo pouco apropriado.
Antes das eleições, um consultor político foi encarregado de uma pesquisa frente a opinião pública e colheu os seguintes dados. De 400 eleitores entrevistados, 200 pretendiam votar a favor do partido que veio a ganhar as eleições, e os outros 200 estavam decididos a votar no partido de oposição. Depois das eleições, o governo instituiu uma legislação trabalhista e um teto salarial, que eventualmente poderiam causar descontentamento entre o eleitorado. O mesmo consultor político entrevistou de novo as mesmas 400 pessoas, e desta vez 182 declararam que eram partidárias do governo, enquanto 218 declararam que, se houvesse eleições naquele momento, votariam contra o governo. Com base nestes dados, o especialista elaborou a tabela cruzada (3.6.1) , no qual determinamos $Q^2_{obs} =1,448$ e p-valor$=0,23$, e assim não há razão para rejeitar a hipótese de homogeneidade mesmo ao nível de significância, pouco usual, de 0,2. O governo, contentíssimo, mandou publicar esta análise em todos os jornais, provando que continuava a ter o apoio da população.
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Opinião | Total | ||
Favor do Governo | Contra o Governo | |||
Instante | Antes das Eleições | 200 | 200 | 400 |
Depois das Eleições | 182 | 218 | 400 | |
Total | 382 | 418 | 800 |
Tabela 3.6.1: Pesquisa de Opinião.
Vamos ver os resultados obtidos pelo software Action:
Claro que em um caso desses, o partido de oposição não teve a menor dificuldade em fazer chacota do governo, pois a análise está totalmente errada. De fato, o analista não tem 800 respostas independentes, o fato de cada pessoa responder duas vezes introduz uma correlação nos resultados que não pode ser ignorada. O que deve ser analisado são os 400 pares de respostas, e não as 800 respostas isoladas. Assim, usamos o coeficiente de correlação proposto por Yule (1900) variando em um intervalo [-1,1]. Porém, primeiramente, definimos o odds ratio (razão de chances) para tabelas cruzadas 2x2. Então temos que o odds ratio é dado pela seguinte fórmula: $$OR=\frac{O_{11}\times O_{22}}{O_{12}\times O_{21}}$$
Agora, definimos o coeficiente de correlação de Yule da seguinte forma: $$\psi=\frac{OR-1}{OR+1}$$
Portanto, para nosso exemplo temos: $$OR=\frac{200\times 218}{200\times 182}=1,197\quad\mbox{e}\quad\psi=\frac{1,197-1}{1,197+1}=0,089$$
Assim, o número de eleitores que antes votaram contra e que agora votariam a favor depois das eleições é calculada da seguinte forma: $$O_{2^\prime 1^\prime}=\psi\times O_{21}=0,089\times 182\approx 16$$
Agora, como o número de eleitores entrevistados foi de 200, então temos que o número de eleitores que foi contra antes das eleições e que continuaram contra depois das eleições é de $200-16=184$ eleitores. Portanto a tabela que deveria ser analisada, é mostrada na tabela (3.6.2)
Depois das Eleições | Total | |||
Favor | Contra | |||
Antes das Eleições | Favor | 166 | 34 | 200 |
Contra | 16 | 184 | 200 | |
Total | 182 | 218 | 400 |
Tabela 3.6.2: Pesquisa de Opinião do Antes e Depois das Eleições.
Observamos pelos resultados obtidos pelo software Action, que $Q^2_{obs} =223,82$ e p-valor$≈0$. Assim rejeitamos a hipótese de homogeneidade ao nível de significância 5%. Pelos resultados, vemos também que cerca de 15% dos eleitores que antes eram a favor do governo, agora são contra.
Nota: Caso pretendamos testar a independência dos critérios de classificação, ou caso pretendamos testar a homogeneidade de populações relativamente a um critério de classificação, a estatística Qui-Quadrado continua a ter a mesma expressão e para amostras grandes terá distribuição limite Qui-Quadrado com 1 grau de liberdade.
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