7 - Análise de Resíduos

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Outro processo que podemos utilizar na tentativa de identificar as categorias responsáveis por um valor significante da estatística Qui-Quadrado, foi sugerido por Haberman (1973). Este processo envolve a análise dos resíduos normalizados:

$ r_{ij}=\cfrac{n_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}} $

Obtemos uma estimativa da variância de $ r_{ij} $:

$ \hat{v}_{ij}=\left(1-\cfrac{n_{i.}}{n}\right)\left(1-\cfrac{n_{.j}}{n}\right) $

Então, para cada célula da tabela cruzada, podemos calcular o resíduo padronizado $ d_{ij} $ como a seguir:

$ d_{ij}=\cfrac{r_{ij}}{\sqrt{v_{ij}}} $

Quando as variáveis que constituem a tabela cruzada são independentes, os termos que $ d_{ij} $ têm distribuição aproximada Normal reduzida. Comparando os valores absolutos de $ d_{ij} $ com um quantil de probabilidade $ 1-\alpha/2 $ da distribuição normal reduzida.

Exemplo 7.1.1

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Voltando ao exemplo 3.6.1

 

Efeito Secundário Total
Presente Ausente
Tratamento Medicamento 15 35 50
Placebo 4 46 50
Total 19 81 100

Tabela 7.1.1: População tratados com medicamento e outra população com placebo.

Primeiramente calculamos os resíduos:

$ r_{ij}=\cfrac{n_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}} $

$ r_{11}=\cfrac{n_{11}-E_{11}}{\sqrt{E_{11}}}=1,78 \ldots r_{22}=\cfrac{n_{22}-E_{22}}{\sqrt{E_{22}}}=0,86 $

e os resultados dos cálculos dos resíduos são encontrados na tabela 7.1.2:

 
 
 
$ r_{ij} $
Efeito Secundário
Presente Ausente
Tratamento  Medicamento 1,7844 -0,8642
Placebo -1,7844 0,8642

Tabela 7.1.2: Resíduos $ r_{ij} $

Com os resíduos, não temos uma sensibilidade para concluirmos algo, vamos agora calcular os resíduos padronizados e compararmos com a Normal reduzida.

Primeiro vamos encontrar os estimativas das variâncias:

$ v_{ij}=\left(1-\cfrac{n_{i.}}{n}\right)\left(1-\cfrac{n_{.j}}{n}\right) $

$ v_{11}=\left(1-\cfrac{19}{100}\right)\left(1-\cfrac{50}{100}\right) \ldots v_{22}=\left(1-\cfrac{81}{100}\right)\left(1-\cfrac{50}{100}\right) $

Obtemos as estimativas das variâncias na tabela 7.1.3:

 
 
 
$ v_{ij} $
Efeito Secundário
Presente Ausente
Tratamento  Medicamento 0,405 0,095
Placebo 0,405 0,095

Tabela 7.1.3: Estimativas da variância $ v_{ij} $

Assim, calculamos os resíduos padronizados a seguir:

$ d_{ij}=\cfrac{r_{ij}}{\sqrt{v_{ij}}} $

$ d_{11}=\cfrac{r_{11}}{\sqrt{v_{11}}}=\cfrac{1,7844}{\sqrt{0,405}}=2,8039 $

$ \vdots $

$ d_{22}=\cfrac{r_{22}}{\sqrt{v_{22}}}=\cfrac{1,7844}{\sqrt{0,405}}=2,8039 $

obtemos os resíduos padronizados na tabela 7.1.4:

 
 
 
$ d_{ij} $
Efeito Secundário
Presente Ausente
Tratamento  Medicamento 2,8039 -2,8039
Placebo -2,8039 2,8039

Tabela 7.1.4: Resíduos Padronizados $ d_{ij} $

e comparados os seus valores absolutos com o quantil de probabilidade $ 0,975 $ da Normal Reduzida, ou seja $ 1,96 $, observamos que todas as células apresentam valores significativos.
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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