7 - Análise de Resíduos

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Outro processo que podemos utilizar na tentativa de identificar as categorias responsáveis por um valor significante da estatística Qui-Quadrado, foi sugerido por Haberman (1973). Este processo envolve a análise dos resíduos normalizados:

$r_{ij}=\cfrac{n_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}$

Obtemos uma estimativa da variância de $r_{ij}$:

$\hat{v}_{ij}=\left(1-\cfrac{n_{i.}}{n}\right)\left(1-\cfrac{n_{.j}}{n}\right)$

Então, para cada célula da tabela cruzada, podemos calcular o resíduo padronizado $d_{ij}$ como a seguir:

$d_{ij}=\cfrac{r_{ij}}{\sqrt{v_{ij}}}$

Quando as variáveis que constituem a tabela cruzada são independentes, os termos que $d_{ij}$ têm distribuição aproximada Normal reduzida. Comparando os valores absolutos de $d_{ij}$ com um quantil de probabilidade $1-\alpha/2$ da distribuição normal reduzida.

Exemplo 7.1.1

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Voltando ao exemplo 3.6.1

 

Efeito Secundário Total
Presente Ausente
Tratamento Medicamento 15 35 50
Placebo 4 46 50
Total 19 81 100

Tabela 7.1.1: População tratados com medicamento e outra população com placebo.

Primeiramente calculamos os resíduos:

$r_{ij}=\cfrac{n_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}$

$r_{11}=\cfrac{n_{11}-E_{11}}{\sqrt{E_{11}}}=1,78 \ldots r_{22}=\cfrac{n_{22}-E_{22}}{\sqrt{E_{22}}}=0,86$

e os resultados dos cálculos dos resíduos são encontrados na tabela 7.1.2:

 
 
 
$r_{ij}$
Efeito Secundário
Presente Ausente
Tratamento  Medicamento 1,7844 -0,8642
Placebo -1,7844 0,8642

Tabela 7.1.2: Resíduos $r_{ij}$

Com os resíduos, não temos uma sensibilidade para concluirmos algo, vamos agora calcular os resíduos padronizados e compararmos com a Normal reduzida.

Primeiro vamos encontrar os estimativas das variâncias:

$v_{ij}=\left(1-\cfrac{n_{i.}}{n}\right)\left(1-\cfrac{n_{.j}}{n}\right)$

$v_{11}=\left(1-\cfrac{19}{100}\right)\left(1-\cfrac{50}{100}\right) \ldots v_{22}=\left(1-\cfrac{81}{100}\right)\left(1-\cfrac{50}{100}\right)$

Obtemos as estimativas das variâncias na tabela 7.1.3:

 
 
 
$v_{ij}$
Efeito Secundário
Presente Ausente
Tratamento  Medicamento 0,405 0,095
Placebo 0,405 0,095

Tabela 7.1.3: Estimativas da variância $v_{ij}$

Assim, calculamos os resíduos padronizados a seguir:

$d_{ij}=\cfrac{r_{ij}}{\sqrt{v_{ij}}}$

$d_{11}=\cfrac{r_{11}}{\sqrt{v_{11}}}=\cfrac{1,7844}{\sqrt{0,405}}=2,8039$

$\vdots$

$d_{22}=\cfrac{r_{22}}{\sqrt{v_{22}}}=\cfrac{1,7844}{\sqrt{0,405}}=2,8039$

obtemos os resíduos padronizados na tabela 7.1.4:

 
 
 
$d_{ij}$
Efeito Secundário
Presente Ausente
Tratamento  Medicamento 2,8039 -2,8039
Placebo -2,8039 2,8039

Tabela 7.1.4: Resíduos Padronizados $d_{ij}$

e comparados os seus valores absolutos com o quantil de probabilidade $0,975$ da Normal Reduzida, ou seja $1,96$, observamos que todas as células apresentam valores significativos.
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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