2 - Independência dos critérios de classificação

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O teste de independência é usado quando estamos interessados em testar o grau de dependência ou de associação entre as variáveis classificatórias, cujas categorias não identificam necessariamente diferentes classes ou subpopulações.

Consideremos duas variáveis R (linha) e C (coluna), sendo que a variável C (coluna) tem c categorias e a variável R (linha) tem r categorias.

Dada uma amostra de n observações de uma população X consideremos o vetor (O11,O12, ... ,Orc) de variáveis aleatórias, sendo Oij o número de observações da linha i e coluna j (de entre as n observações da amostra) classificadas na categoria i e na categoria j das variáveis R (linha) e C (coluna), respectivamente, i=1,..., r e j=1,...,c.

Se pij é a probabilidade de uma observação ser classificada nas classes i e j, das variáveis R (linha) e C (coluna), respectivamente, com i=1,...,r e j=1,...,c, então o vetor aleatório (O11,O12, ... ,Orc) tem distribuição multinomial, ou seja: 

$$P(O_{11}=o_{11},O_{12}=o_{12},\dots, O_{rc}=o_{rc})=\cfrac{n!}{\displaystyle\prod^r_{i=1}\prod^c_{j=1}o_{ij}!}\displaystyle \prod^r_{i=1}\prod^c_{j=1}p^{o_{ij}}_{ij}\quad \mbox{com},\quad\sum^c_{i=1}\sum^r_{j=1}O_{ij}=n$$

A frequência esperada de observações classificadas na categoria i e na categoria j das variáveis R (linha) e C (coluna) será respectivamente: 

$$F_{ij}=n~p_{ij}~~~~\begin{array}{c}i=1,\dots,r \\j=1,\dots,c\end{array}$$

Nota: Em uma distribuição multinomial, cada variável tem distribuição marginal binomial. Por exemplo, para a distribuição multinomial que estamos considerando, Oij tem distribuição binomial de parâmetros (n,pij).

Os estimadores de máxima verossimilhança de pij são: 

$$\hat{p}_{ij}=\cfrac{O_{ij}}{n}~~~~\begin{array}{c}i=1,\dots,r \\j=1,\dots,c\end{array}$$

e os estimadores de máxima verossimilhança das frequências esperadas, Fij são

$$\hat{E}_{ij}=n~\hat{p}_{ij}=n~\cfrac{O_{ij}}{n}=O_{ij}~~~~~~\begin{array}{c}i=1,\dots,r\\j=1,\dots,c\end{array}$$

 

 

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