6 - Teste de McNemar para frequências correlacionadas

Amostras pareadas são muitas vezes utilizadas para aumentar a precisão de uma comparação. Contudo, duas amostras pareadas não são amostras independentes, mas sim correlacionadas. Consequentemente se forem utilizadas em um estudo de tabelas de contingência, a usual estatística Qui-Quadrado não pode ser utilizada no sentido estrito para averiguar as diferenças entre frequências de duas amostras. O teste apropriado para comparar frequências oriundas de amostras pareadas devemos a McNemar (1955).

Como introdução, consideramos a tabela 6.1, em que pretendemos analisar a presença ou ausência de um atributo A em duas amostras I e II, pareadas.

Tabela 6.1: Frequências em amostras pareadas.

Como estamos preocupados com as diferenças entre as duas amostras, as frequências b e c não nos interessam, mas sim as frequências a e d que registam mudança na observação do atributo A. Se a hipótese nula $H_0$ que queremos testar é a de que não existem diferenças nas amostras, no que diz respeito a observação do atributo A, então podemos considerar que a é o número de sucessos, porque passa de uma ausência a uma presença de A, e que d é o número de insucessos (fracassos), porque passa de uma presença a uma ausência de A. Se a hipótese nula é verdadeira, então a tem distribuição binomial de parâmetros $(a + d; 1/2)$ e a frequência esperada das células $(1, 1)$ e $(2, 2)$ é de $(a+d)/2$.

McNemar propôs que, ao invés de usarmos o teste exato, utilizemos à estatística Qui-Quadrado aplicada as frequências a e d,

 $Q^2_{obs}=\cfrac{(a-d)^2}{(a+d)}\quad (6.1.1)$

que, condicional à hipótese nula $H_0$ de homogeneidade, tem uma distribuição assintótica Qui-Quadrado com 1 grau de liberdade.

Em alguns casos, podemos usar uma modificação da estatística (6.1.1) ("uma correção de continuidade semelhante à correção de Yates") como a seguir:

$Q^2_{obs}=\cfrac{(|a-d|-1)^2}{a+d}$

Repare que este teste apresenta uma resposta ao problema colocado no módulo teste de homogeneidade. De fato as amostras são pareadas e podemos agora aplicar o teste de McNemar.