5 - Teste exato de Fisher

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Em tabelas cruzadas 2 x 2, os valores esperados menores que 5 e amostras pequenas, podem afetar a aproximação da distribuição Qui-Quadrado da estatística $ Q^2_{obs} $ fazendo com que a mesma  não seja suficientemente boa. Neste caso é preferível usar o teste exato de Fisher, que passamos a descrever nesta seção.

No teste exato de Fisher, nos baseamos no cálculo da distribuição de probabilidade das frequências da tabela. Contudo, isso não é possível na situação das tabelas com margens livres ou com uma margem fixa e outra livre porque a probabilidade de uma dada distribuição das frequências é função de parâmetros de valor desconhecido.

Fisher (1934) propôs que a distribuição de probabilidade das frequências de qualquer um destes tipos de tabelas sejam substituídas pela probabilidade da distribuição das mesmas frequências, considerando tabelas com duas margens fixas, ou seja, uma distribuição de probabilidade hipergeométrica para a única frequência de valor livre (independente).

Para a tabela 5.1 (arranjada de modo que $ n_{1.}\leq n_{.1}\leq n_{.2}\leq n_{2.} $), se X for a frequência de valor independente, a frequência da célula (1,1), considerando: 

$$P_a=P[X=a]=\cfrac{\displaystyle{a+b \choose a} \displaystyle{c+d \choose c}}{\displaystyle{n \choose a+c}}=\cfrac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{a!b!c!d!n!}$$

O teste exato de Fisher consiste na determinação desta probabilidade e dos arranjos possíveis que, com os mesmos totais marginais, tenham ainda mais desvios em relação à hipótese nula H0 ,isto é, as probabilidades de tabelas com as mesmas margens e com menores valores na entrada cujo valor, na tabela cruzada em questão, já foram consideradas baixas, neste caso

$ a-1 $ $ b+1 $ $ a+b $
$ c+1 $ $ d-1 $ $ c+d $
$ a+c $ $ b+d $ $ n $

 

$ a-2 $ $ b+2 $ $ a+b $
$ c+2 $ $ d-2 $ $ c+d $
$ a+c $ $ b+d $ $ n $

$ \vdots $

$ 0 $ $ a+b $ $ a+b $
$ c+a $ $ d-a $ $ c+d $
$ a+c $ $ b+d $ $ n $

Se a soma $ P_a+P_{a-1}+...+P_0 $ for inferior ao nível de significância $ \alpha, $ devemos rejeitar a hipótese de independência ou a hipótese de homogeneidade que estipulamos.

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