1.1 - Um estimador do parâmetro de posição

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Na tentativa de estimar o parâmetro de posição θ, consideraremos as médias (Xi+Xj)/2 entre as observações Xi e Xj tais que i ≤ j. Neste caso, se temos n observações da população, segue que temos M = n(n+1)/2 médias desse tipo. O estimador de θ associado com a estatística T+ do teste de Wilcoxon é \[\hat{\theta}=\hbox{mediana}\left\{\frac{X_i+X_j}{2}, \ i\leq j = 1, \ldots, n\right\}.\]

Sejam W(1), W(2), ..., W(M) os valores ordenados de (Xi+Xj)/2 com i ≤ j. Então, se M é ímpar, ou seja, M = 2k + 1, então k = (M-1)/2 e \[\hat{\theta}=W^{(k+1)},\]

que é o valor que ocupa a posição k + 1 na lista de médias (Xi+Xj)/2. Se M é par, ou seja, M = 2k, então k = M/2 e \[\hat{\theta}=\frac{W^{(k)}+W^{(k+1)}}{2}.\]

Isto é, quando M é par, $\hat{\theta}$ é a média dos dois valores (Xi+Xj)/2 que ocupam as posições k e k + 1.

Definição 1.1.1:

O estimador $\hat{\theta}$ é chamado de pseudo-mediana.

Exemplo 1.1.1

Encontre a pseudo-mediana para o seguinte conjunto de dados

-4 -3 -1 2 5 6

Temos que as médias (Xi+Xj)/2 entre as observações Xi e Xj tais que i ≤ j ordenadas são dadas na tabela abaixo

-4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1 -1
-0,5 0,5 0,5 1 1 1,5 2
2 2,5 3,5 4 5 5,5 6

Como temos 6 observações, temos 6(6+1)/2 = 21 médias entre as observações Xi e Xj com i ≤ j. Como M = 21 é um número ímpar, então temos que a pseudo-mediana será a observação 11, ou seja \[\hat{\theta}=1.\]

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