2.1 - Um Estimador para a Diferença entre as Posições

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Para estimar a diferença Δ entre as medianas das populações, consideramos todas as m x n diferenças yi - xj ordenadas de forma crescente. O estimador $\hat{\Delta}$ associado a estatística de Wilcoxon-Mann-Whitney é definido por

\[\hat{\Delta}= \ \hbox{mediana}\{(y_i-x_j), \ i=1,\ldots, n; j=1,\ldots,m\}.\]

Sejam U(1), U(2), ..., U(mn), os valores ordenados destas diferenças. Se m é um número ímpar, isto é, mn = 2k +1, temos que k = (mn-1)/2 e então tomamos

\[\hat{\Delta}=U^{(k+1)},\]

isto é, a diferença que ocupa a posição k + 1 na lista das diferenças ordenadas. Se mn é um número par, isto é, mn = 2k, então k = mn/2 e então tomamos

\[\hat{\Delta}=\frac{U^{(k)}+U^{(k+1)}}{2},\]

isto é, $\hat{\Delta}$ é a média das diferenças yi - xj que ocupam as posições k e k + 1 na lista das diferenças ordenadas.

Obs: O estimador $\hat{\Delta}$ é chamado de pseudo-mediana.

 

Exemplo 2.1.1:

Considere os dados do Exemplo 2.1.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Temos na Tabela 2.1.1 as diferenças entre valores observados.

  126 142 156 228 245 246 370 419 433 454 478 503
29 97 113 127 199 216 217 341 390 404 425 449 474
39 87 103 117 189 206 207 331 380 394 415 439 464
60 66 82 96 168 185 186 310 359 373 394 418 443
78 48 64 78 150 167 168 292 341 355 376 400 425
82 44 60 74 146 163 164 288 337 351 372 396 421
112 14 30 44 116 133 134 258 307 321 342 366 391
125 1 17 31 103 120 121 245 294 308 329 353 378
170 -44 -28 -14 58 75 76 200 249 263 284 308 333
192 -66 -50 -36 36 53 54 178 227 241 262 286 311
224 -98 -82 -68 4 21 22 146 195 209 230 254 279
263 -137 -121 -107 -35 -18 -17 107 156 170 191 215 240
275 -149 -133 -119 -47 -30 -29 95 144 158 179 203 228
276 -150 -134 -120 -48 -31 -30 94 143 157 178 202 227
286 -160 -144 -130 -58 -41 -40 84 133 147 168 192 217
369 -243 -227 -213 -141 -124 -123 1 50 64 85 109 134
736 -610 -594 -580 -508 -491 -490 -366 -317 -303 -282 -258 -233

Tabela 2.1.1: Diferenças

 Temos que nm = 12 x 16 = 192 que é um número par, isto é 192 = 2k com k = 96. Deste modo, o estimador da mediana entre as diferenças yi - xj é dado por

\[\hat{\Delta}=\frac{U^{(96)}+U^{(97)}}{2}=\frac{133+134}{2}=133,5.\]

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