2.1 - Um Estimador para a Diferença entre as Posições

Para estimar a diferença Δ entre as medianas das populações, consideramos todas as m x n diferenças y_i - x_j ordenadas de forma crescente. O estimador $\hat{\Delta}$ associado a estatística de Wilcoxon-Mann-Whitney é definido por

\[\hat{\Delta}= \ \hbox{mediana}\{(y_i-x_j), \ i=1,\ldots, n; j=1,\ldots,m\}.\]

Sejam U⁽¹⁾, U⁽²⁾, ..., U^(mn), os valores ordenados destas diferenças. Se m é um número ímpar, isto é, mn = 2k +1, temos que k = (mn-1)/2 e então tomamos

\[\hat{\Delta}=U^{(k+1)},\]

isto é, a diferença que ocupa a posição k + 1 na lista das diferenças ordenadas. Se mn é um número par, isto é, mn = 2k, então k = mn/2 e então tomamos

\[\hat{\Delta}=\frac{U^{(k)}+U^{(k+1)}}{2},\]

isto é, $\hat{\Delta}$ é a média das diferenças y_i - x_j que ocupam as posições k e k + 1 na lista das diferenças ordenadas.

Obs: O estimador $\hat{\Delta}$ é chamado de pseudo-mediana.

Exemplo 2.1.1:

Considere os dados do Exemplo 2.1.

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Temos na Tabela 2.1.1 as diferenças entre valores observados.

Tabela 2.1.1: Diferenças

 Temos que nm = 12 x 16 = 192 que é um número par, isto é 192 = 2k com k = 96. Deste modo, o estimador da mediana entre as diferenças y_i - x_j é dado por

\[\hat{\Delta}=\frac{U^{(96)}+U^{(97)}}{2}=\frac{133+134}{2}=133,5.\]