6.1.2 - Distribuição Exponencial

Você está aqui

Para a distribuição Exponencial com função densidade de probabilidade dada por: \[f(x) = \frac{1}{\beta} exp \left \{ - \frac{(x - \alpha)}{\beta} \right \} \ (x \textgreater \alpha), \]

a seguinte tabela fornece alguns valores de quantis com estatística de Anderson Darling modificada, que é dada por:

\[A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,6}{n} \right) \]

Vale ressaltar que, em nosso caso, temos que $\alpha$ = 0.

Caso 1: O parâmetro $\alpha$ é desconhecido  e $\beta$ é conhecido.

Caso 2: O parâmetro $\alpha$ é conhecido  e $\beta$ é desconhecido.

Caso 3: Ambos os parâmetros $(\alpha, \beta)$ são desconhecidos.

Caso Modificação 15,0 10,0 5,0 2,5 1,0
Caso 1 - 1,610 1,933 2,492 3,070 3,880
Caso 2 $A^2_m = A^2(1 + (0,6/n))$ 0,916 1,062 1,321 1,591 1,959
Caso 3 - 0,916 1,062 1,321 1,591 1,959

Observação: Para o Caso 1 os valores são válidos quando $n \geq 5$.

Em relação ao cálculo do p-valor, temos que este depende do valor da estatística de Anderson-Darling modificada $A_{m}^{2}$. A partir do valor desta é utilizada uma interpolação que aproxima uma função exponencial. Apresentamos na tabela a seguir o cálculo do p-valor.

$A^{2}_{m}$ P-valor
$A^{2}_{m} \textless 0,260$ $p-valor = 1 - exp(-12,2204 + 67,459 \times A^{2}_{m} - 110,3 \times (A^{2}_{m})^{2})$
$0,260 \textless A^{2}_{m} \textless 0,510$ $p-valor = 1 - exp(-6,1327 + 20,218 \times A^{2}_{m} - 18,663 \times (A^{2}_{m})^{2})$
$0,510 \textless A^{2}_{m} \textless 0,950$ $p-valor = exp(0,9209 - 3,353 \times A^{2}_{m} + 0,3 \times (A^{2}_{m})^{2})$
$A^{2}_{m} \textgreater 0,950$ $p-valor = exp(0,731 - 3,009 \times A^{2}_{m} + 0,15 \times (A^{2}_{m})^{2})$

Exemplo 6.1.2:

A seguir, apresentamos os dados ordenados e os valores utilizados para os cálculos da estatística de Anderson-Darling:

$i$ $x_i$ $F_x$ $D_i$
1 0,0037143 0,0070976 -5,653167
2 0,0162376 0,0306586 -13,474952
3 0,0307592 0,0572802 -19,902688
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
50 1,8187078 0,9694286 -6,561485

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Vamos testar:

$$\left\{\begin{array}{l}H_0: \ \hbox{Os \ dados \ seguem \ distribuição \ Exponencial.} \\ H_1: \ \hbox{Os \ dados \ não \ seguem \ distribuição \ Exponencial.} \end{array}\right.$$

Temos que o parâmetro $\alpha$ é conhecido e igual a zero, contudo o parâmetro $\beta$ é desconhecido, logo devemos estimá-lo. A estimativa do parâmetro é dada por:

$$ \frac{1}{\overline{X}}=\frac{1}{\frac{X_1+\ldots+X_n}{n} = \frac{0,0037143 + ... + 1,8187078}{50}} = \frac{1}{0,52146462} = 1,917676$$

Utilizando a fórmula $(\star)$, temos que \[D = -2510,124.\]

\[A^2=-n-\frac{D}{n}=-50+\frac{-2510,124}{50} = \ 0,2024727.\]

A estatística de Anderson Darling modificada para este caso (Caso 2, com $\alpha$ conhecido e $\beta$ desconhecido) é dada por: $$A^2_m = A^2\left(1+\frac{0,6}{n}\right)=0,2049024$$

Através da tabela dos valores críticos concluímos que o p-valor deve ser superior a 15%. Então, existe forte evidência de que os dados provém de uma distribuição Exponencial. Para o cálculo do p-valor é utilizada a seguinte expressão:

$$ \text{p-valor} = 1 - \exp(-12,2204 - 67,459A^2_m - 110,30A^2_m) = 0,951628$$

Assim temos um p-valor igual a 0,951628, logo temos forte evidência de que os  dados provém de uma distribuição Exponencial.

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]