6.1.3 - Distribuição Logística

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Para a distribuição Logística com função densidade de probabilidade dada por:

$$f(x)=\frac{\exp\left\{\frac{x-\mu}{s}\right\}}{s\left(1+\exp\left\{\frac{x-\mu}{s}\right\}\right)^2},\quad x,\mu\in \mathbb{R},~~\sigma\textgreater 0.$$

a seguinte tabela fornece alguns valores de quantis com estatística de Anderson Darling modificada, que é dada por:

\[A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,25}{n} \right) \]

Caso 1: O parâmetro $\mu$ é desconhecido  e $s$ é conhecido.

Caso 2: O parâmetro $\mu$ é conhecido  e $s$ é desconhecido.

Caso 3: Ambos os parâmetros $(\mu, s)$ são desconhecidos.

Caso Modificação 25,0 10,0 5,0 2,5 1,0
Caso 1 - 0,615 0,857 1,046 1,241 1,505
Caso 2 - 1,043 1,725 2,290 2,880 3,685
Caso 3 $A^2(1+ (0,25/n))$ 0,428 0,563 0,660 0,769 0,906

Exemplo 6.1.3:

A seguir, apresentamos os dados e os valores utilizados para os cálculos da estatística de Anderson-Darling:

$i$ $x_i$ $F_x$ $D_i$
1 94,85255 0,0012447 -6,812172
2 97,12315 0,0236866 -13,553785
3 97,68437 0,0481041 -19,855401
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
50 103,05806 0,9827216 -5,783810

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Vamos testar:

$$\left\{\begin{array}{l}H_0: \ \hbox{Os \ dados \ seguem \ distribuição \ Logística.} \\ H_1: \ \hbox{Os \ dados \ não \ seguem \ distribuição \ Logística.} \end{array}\right.$$

Note que os parâmetros são desconhecidos, logo devemos estimá-los. As estimavas são dadas por:

$$\left\{\begin{array}{l}n^{-1}\sum_{i}\left\{ 1+exp\Big[\frac{(X_i-\hat{\mu})}{\hat{s}}\Big]\right\}=0,5 \\ n^{-1}\sum_{i}\left(\frac{X_i-\hat{\mu}}{\hat{s}}\right)\frac{1-exp[(X_i-\hat{\mu})/\hat{s}}{1+exp[(X_i-\hat{\mu})/\hat{s}}=-1 \end{array}\right.$$

As equações dadas acima podem ser resolvidas via métodos iterativos e, por meio destes obtivemos:

$$ \hat{\mu} = 99,96753 \ \text{e}\ \hat{s}=0,76489$$

Utilizando a fórmula $(\star)$, temos que \[D=-2518,056.\]

\[A^2=-n-\frac{D}{n}=-50+\frac{-2518,056}{50}=0,361104.\]

A estatística de Anderson Darling modificada para este caso (Caso 3, com $\mu$ e $s$ desconhecidos) é dada por:  $$ A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,25}{n} \right) = 0,3629095$$

Através da tabela dos valores críticos concluímos que o p-valor deve ser superior a 25%. Então, existe forte evidência de que os dados provém de uma distribuição Logística.

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