6.1.4 - Distribuição Gama

Para a distribuição Gama com função densidade de probabilidade dada por: 

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma({\alpha})} \ \hbox{se} \ x\geq0\\ 0, \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.\]

a seguinte tabela fornece alguns valores de quantis com estatística de Anderson Darling modificada, que é dada por:

\[A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,25}{n} \right) \]

Caso 1: O parâmetro $\alpha$ é conhecido  e $\beta$ é desconhecido.

Caso 2: O parâmetro $\beta$ é conhecido  e $\alpha$ é desconhecido.

Caso 3: Ambos os parâmetros $(\alpha, \beta)$ são desconhecidos.

$\alpha$ 25,0 10,0 5,0 2,5 1,0
1 0,486 0,657 0,786 0,917 1,092
2 0,477 0,643 0,768 0,894 1,062
3 0,475 0,639 0,762 0,886 1,052
4 0,473 0,637 0,759 0,883 1,048
5 0,472 0,635 0,758 0,881 1,045
6 0,472 0,635 0,757 0,880 1,043
8 0,471 0,634 0,755 0,878 1,041
10 0,471 0,633 0,754 0,877 1,040
12 0,471 0,633 0,754 0,876 1,039
15 0,470 0,632 0,753 0,876 1,038
20 0,470 0,632 0,752 0,875 1,037
$\infty$ 0,470 0,631 0,786 0,873 1,035

Exemplo 6.1.4:

A seguir, apresentamos os dados e os valores utilizados para os cálculos da estatística de Anderson-Darling:

$i$ $x_i$ $F_x$ $D_i$
1 0,0101666 0,0274852 -6,353236
2 0,0117768 0,0317676 -13,479390
3 0,0118973 0,0320875 -20,294737
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
50 2,046896 0,9963288 -5,971350

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Vamos testar:

$$\left\{\begin{array}{l}H_0: \ \hbox{Os \ dados \ seguem \ distribuição \ Gama.} \\ H_1: \ \hbox{Os \ dados \ não \ seguem \ distribuição \ Gama.} \end{array}\right.$$

Observe que os parâmetros são desconhecidos, logo devemos estimá-los. As estimativas são dadas por meio das equações:

$$ \Big\{ \sum_{i} log(X_i)\Big\}/n - log(\overline{X}) =\psi(\alpha) - log(\alpha), $$

em que $ \psi(\alpha) $ e a função digama. Temos que o parâmetro $\beta$ pode ser estimado por:

$$ \hat{\beta} = \frac{\overline{X}}{\hat{\alpha}}$$

Por meio de métodos iterativos obtivemos:

$$ \hat{\alpha}=0,9998007 \ \text{e}\ \hat{\beta}=2,739132 $$

Utilizando a fórmula $(\star)$, temos que \[D=-2509,936.\]

\[A^2=-n-\frac{D}{n}=-50+\frac{-2509,936}{50}=0,1987166.\]

Comparando com a tabela de valores críticos da distribuição Gama temos que $\hat{\alpha} \approx 1 $ e a estatística $A^2$ é inferior ao valor tabelado, isto é, 0,1987166 é menor que 0,486. Logo temos que o p-valor deve ser superior a 0,25. Então, existe forte evidência de que os dados provém de uma distribuição Gama.

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