6.1.5 - Distribuição Weibull

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Para a distribuição Weibull com função densidade de probabilidade dada por: 

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\alpha}{\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}\exp\left[-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha}\right], \ \hbox{se} \ x\geq0\\ 0 \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

a seguinte tabela fornece alguns valores de quantis com estatística de Anderson Darling modificada, que é dada por:

\[A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,2}{\sqrt{n}} \right) \]

Caso 1: O parâmetro $\alpha$ é conhecido  e $\beta$ é desconhecido.

Caso 2: O parâmetro $\beta$ é conhecido  e $\alpha$ é desconhecido.

Caso 3: Ambos os parâmetros $(\alpha, \beta)$ são desconhecidos.

Caso Modificação 25,0 10,0 5,0 2,5 1,0
Caso 1 - 0,736 1,062 1,321 1,591 1,959
Caso 2 - 1,060 1,725 2,277 2,854 3,640
Caso 3 $A^2(1+(0,75/\sqrt{n}))$ 0,474 0,637 0,757 0,877 1,038

Exemplo 6.1.5:

A seguir, apresentamos os dados e os valores utilizados para os cálculos da estatística de Anderson-Darling:

$i$ $x_i$ $F_x$ $D_i$
1 0,8358289 0,0231670 -6,085545
2 0,9263182 0,0362156 -13,532898
3 0,9324390 0,0372630 -20,056397
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
50 2,6410101 0,9764851 -6,105903

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Vamos testar:

$$\left\{\begin{array}{l}H_0: \ \hbox{Os \ dados \ seguem \ distribuição \ Weibull.} \\ H_1: \ \hbox{Os \ dados \ não \ seguem \ distribuição \ Weibull.} \end{array}\right.$$

Observe que os parâmetros são desconhecidos, logo devemos estimá-los. Tomando o logaritmo dos dados, podemos estimar os parâmetros por meio das equações dadas a seguir:

$$\left\{\begin{array}{l}\hat{\beta}=\sum_{i}X_i/n-\Big[\sum_{i}X_iexp(-X_i/\hat{\beta})\Big]/\Big[\sum_{i}exp(-X_i/\hat{\beta})\Big]=1,95721 \\ \hat{\alpha}=\hat{\beta}\log\Big[\sum_{i}exp(-X_i/\hat{\beta})/n\Big]=4,41126 \end{array}\right.$$

Logo:

$$ \hat{\alpha} = 4,411486 \ \text{e}\ \hat{\beta} = 1,957228$$

Utilizando a fórmula $(\star)$, temos que \[D=-2515,786.\]

\[A^2=-n-\frac{D}{n}=-50+\frac{-2515,786}{50}=0,3158042.\]

A estatística de Anderson Darling modificada para este caso (Caso 3, com $\alpha$ e $\beta$ desconhecidos) é dada por:  $$ A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,2}{\sqrt{n}} \right) = 0,3170674$$

Através da tabela dos valores críticos concluímos que o p-valor deve ser superior a 25%. Então, existe forte evidência de que os dados provém de uma distribuição Weibull.

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