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Para a distribuição Weibull com função densidade de probabilidade dada por:
\[f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\alpha}{\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}\exp\left[-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha}\right], \ \hbox{se} \ x\geq0\\ 0 \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 0\end{array}\right.\]
a seguinte tabela fornece alguns valores de quantis com estatística de Anderson Darling modificada, que é dada por:
\[A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,2}{\sqrt{n}} \right) \]
Caso 1: O parâmetro $\alpha$ é conhecido e $\beta$ é desconhecido.
Caso 2: O parâmetro $\beta$ é conhecido e $\alpha$ é desconhecido.
Caso 3: Ambos os parâmetros $(\alpha, \beta)$ são desconhecidos.
Caso | Modificação | 25,0 | 10,0 | 5,0 | 2,5 | 1,0 |
Caso 1 | - | 0,736 | 1,062 | 1,321 | 1,591 | 1,959 |
Caso 2 | - | 1,060 | 1,725 | 2,277 | 2,854 | 3,640 |
Caso 3 | $A^2(1+(0,75/\sqrt{n}))$ | 0,474 | 0,637 | 0,757 | 0,877 | 1,038 |
Exemplo 6.1.5:
A seguir, apresentamos os dados e os valores utilizados para os cálculos da estatística de Anderson-Darling:
$i$ | $x_i$ | $F_x$ | $D_i$ |
1 | 0,8358289 | 0,0231670 | -6,085545 |
2 | 0,9263182 | 0,0362156 | -13,532898 |
3 | 0,9324390 | 0,0372630 | -20,056397 |
$\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
50 | 2,6410101 | 0,9764851 | -6,105903 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Vamos testar:
$$\left\{\begin{array}{l}H_0: \ \hbox{Os \ dados \ seguem \ distribuição \ Weibull.} \\ H_1: \ \hbox{Os \ dados \ não \ seguem \ distribuição \ Weibull.} \end{array}\right.$$
Observe que os parâmetros são desconhecidos, logo devemos estimá-los. Tomando o logaritmo dos dados, podemos estimar os parâmetros por meio das equações dadas a seguir:
$$\left\{\begin{array}{l}\hat{\beta}=\sum_{i}X_i/n-\Big[\sum_{i}X_iexp(-X_i/\hat{\beta})\Big]/\Big[\sum_{i}exp(-X_i/\hat{\beta})\Big]=1,95721 \\ \hat{\alpha}=\hat{\beta}\log\Big[\sum_{i}exp(-X_i/\hat{\beta})/n\Big]=4,41126 \end{array}\right.$$
Logo:
$$ \hat{\alpha} = 4,411486 \ \text{e}\ \hat{\beta} = 1,957228$$
Utilizando a fórmula $(\star)$, temos que \[D=-2515,786.\]
\[A^2=-n-\frac{D}{n}=-50+\frac{-2515,786}{50}=0,3158042.\]
A estatística de Anderson Darling modificada para este caso (Caso 3, com $\alpha$ e $\beta$ desconhecidos) é dada por: $$ A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,2}{\sqrt{n}} \right) = 0,3170674$$
Através da tabela dos valores críticos concluímos que o p-valor deve ser superior a 25%. Então, existe forte evidência de que os dados provém de uma distribuição Weibull.
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