6.1.6 - Distribuição Gumbel

Para a distribuição Gumbel com função densidade de probabilidade dada por: 

\[f(x)=\frac{1}{\sigma}\exp\left[\frac{x-\mu}{\sigma}-\exp\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\qquad x\in (-\infty,\infty)\]

a seguinte tabela fornece alguns valores de quantis com estatística de Anderson Darling modificada, que é dada por:

\[A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,2}{\sqrt{n}} \right) \]

Note que a estatística de Anderson Darling modificada é igual para as distribuições Weibull e Gumbel. Vale ressaltar que a distribuição Gumbel surge quando se toma o logaritmo de uma variável com a distribuição Weibull. 

Caso 1: O parâmetro $\mu$ é conhecido  e $\sigma$ é desconhecido.

Caso 2: O parâmetro $\sigma$ é conhecido  e $\mu$ é desconhecido.

Caso 3: Ambos os parâmetros $(\sigma, \mu)$ são desconhecidos.

Logo, a tabela de valores críticos para a distribuição Wiebull também fornece alguns valores críticos para a estatística de Anderson Darling quando testamos a distriuição Gumbel.

Exemplo 6.1.6:

A seguir, apresentamos os dados e os valores utilizados para os cálculos da estatística de Anderson-Darling:

$i$ $x_i$ $F_x$ $D_i$
1 987,9316 0,0410970 -7,346391
2 988,6517 0,0520598 -14,052082
3 989,3635 0,0646470 -20,043039
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
50 1046,4969 0,9939219 -5,706632

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Vamos testar:

$$\left\{\begin{array}{l}H_0: \ \hbox{Os \ dados \ seguem \ distribuição \ Gumbel.} \\ H_1: \ \hbox{Os \ dados \ não \ seguem \ distribuição \ Gumbel.} \end{array}\right.$$

Observe que os parâmetros são desconhecidos, logo devemos estimá-los. As estimativas são dadas a partir das expressões:

$$\left\{\begin{array}{l}\hat{\mu}=\sum_{i}X_i/n-\Big[\sum_{i}X_iexp(-X_i/\hat{\mu})\Big]/\Big[\sum_{i}exp(-X_i/\hat{\mu})\Big]=9,35424 \\ \hat{\sigma}=\hat{\mu}\log\Big[\sum_{i}exp(-X_i/\hat{\mu})/n\Big]=998,79 \end{array}\right.$$

Logo:

$$ \hat{\sigma} = 998,7901 \ \text{e}\ \hat{\mu} = 9,35564$$

Utilizando a fórmula $(\star)$, temos que \[D=-2537,886.\]

\[A^2=-n-\frac{D}{n}=-50+\frac{-2537,886}{50}=0,7577566.\]

A estatística de Anderson Darling modificada para este caso (Caso 3, com $\sigma$ e $\mu$ desconhecidos) é dada por:  $$A^2_m = A^2\left( 1 + \frac{0,2}{\sqrt{n}} \right)=0,7791892$$

Através da tabela dos valores críticos concluímos que a estatística $A^2_m$ está entre 0,757 e 0,877. Logo, por meio de interpolação linear, temos que

$$\frac{0,877-0,757}{0,025 - 0,05} = \frac{0,7791892 - 0,757}{x - 0,05}$$

Assim, temos

$$x = 0,04537725$$

Como o $p-valor=0,04537725$,  adotando o nível de significância de 5%, temos que existe evidência de que os dados não provém de uma distribuição Gumbel.

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